Cho hàm số y=fx=1 khi 0≤x≤11+x khi 1<x≤25−x khi 2<x≤3 có đồ thị như Hình 1. Tại mỗi điểm x0 = 1 và x0 = 2, có tồn tại giới hạn limx→x0fx không? Nếu có, giới hạn đó có bằng f(x0) không?

+) Tại x0 = 1 ta có: Dãy (xn) bất kì thỏa mãn xn < 1 và xn → 1 thì f(xn) = 1 khi đó limxn→1−fxn=1. Dãy (xn) bất kì thỏa mãn 1 < xn ≤ 2 và xn → 1 thì f(xn) = 1 + xn khi đó limx→1+fxn=2. Suy ra limxn→1−fxn≠limxn→1+fxn. Do đó không tồn tại limx→1fx. +) Tại x0 = 2 Dãy (xn) bất kì thỏa mãn xn < 2 và xn → 2 thì f(xn) = 1 + xn khi đó limxn→2−fxn=3. Dãy (xn) bất kì thỏa mãn 2 < xn ≤ 3 và xn → 2 thì f(xn) = 5 – xn khi đó limx→2+fxn=3. Suy ra limxn→2−fxn=limxn→2+fxn=3. Do đó limx→2fx=3. Ta có f(2) = 1 + 2 = 3. Vì vậy limx→2fx=f2=3.

Câu hỏi:

13/07/2024 2,166

Cho hàm số $y = f (x) = \{\begin{cases} 1 k h i 0 \leq x \leq 1 \\ 1 + x k h i 1 < x \leq 2 \\ 5 - x k h i 2 < x \leq 3 \end{cases}$ có đồ thị như Hình 1.

Tại mỗi điểm x₀ = 1 và x₀ = 2, có tồn tại giới hạn $\lim_{x \to x_{0}} f (x)$ không? Nếu có, giới hạn đó có bằng f(x₀) không?

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SGK Toán 11 CTST Bài 3. Hàm số liên tục có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

+) Tại x₀ = 1 ta có:

Dãy (x_n) bất kì thỏa mãn x_n < 1 và x_n → 1 thì f(x_n) = 1 khi đó $\lim_{x_{n} \to 1^{-}} f (x_{n}) = 1$ .

Dãy (x_n) bất kì thỏa mãn 1 < x_n ≤ 2 và x_n → 1 thì f(x_n) = 1 + x_n khi đó $\lim_{x \to 1^{+}} f (x_{n}) = 2$ .

Suy ra $\lim_{x_{n} \to 1^{-}} f (x_{n}) \neq \lim_{x_{n} \to 1^{+}} f (x_{n})$ . Do đó không tồn tại $\lim_{x \to 1} f (x)$ .

+) Tại x₀ = 2

Dãy (x_n) bất kì thỏa mãn x_n < 2 và x_n → 2 thì f(x_n) = 1 + x_n khi đó $\lim_{x_{n} \to 2^{-}} f (x_{n}) = 3$ .

Dãy (x_n) bất kì thỏa mãn 2 < x_n ≤ 3 và x_n → 2 thì f(x_n) = 5 – x_n khi đó $\lim_{x \to 2^{+}} f (x_{n}) = 3$ .

Suy ra $\lim_{x_{n} \to 2^{-}} f (x_{n}) = \lim_{x_{n} \to 2^{+}} f (x_{n}) = 3$ . Do đó $\lim_{x \to 2} f (x) = 3$ .

Ta có f(2) = 1 + 2 = 3.

Vì vậy $\lim_{x \to 2} f (x) = f (2) = 3$ .

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một hãng taxi đưa ra giá cước T(x) (đồng) khi đi quãng đường x (km) cho loại xe 4 chỗ như sau:

$T (x) = \{\begin{cases} 10 000 k h i 0 < x \leq 0, 7 \\ 10 000 + (x - 0, 7) .14 000 k h i 0, 7 < x \leq 20 \\ 280 200 + (x - 20) .12 000 k h i x > 20 \end{cases}$ .

Xét tính liên tục của hàm số T(x).

Xem đáp án

Lời giải

+) Với x₀ ∈ (0; 0,7) hàm số f(x) = 10 000 là hàm đa thức nên liên tục trên (0; 0,7).

+) Với x₀ ∈ (0,7; 20) hàm số f(x) = 10 000 + (x – 0,7).14 000 là hàm đa thức nên liên tục trên (0,7; 20).

+) Với x₀ ∈ (20; +∞) hàm số f(x) = 280 200 + (x – 20).12 000 là hàm đa thức nên liên tục trên (20; +∞).

+) Tại x₀ = 0,7 ta có:

$\lim_{x \to 0, 7^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0, 7^{-}} 10 000 = 10 000$ ;

$\lim_{x \to 0, 7^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0, 7^{+}} [10 000 + (x - 0, 7) .14 000] = 10 000$ .

Suy ra $\lim_{x \to 0, 7^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0, 7^{+}} f (x) = 10 000$ . Do đó tồn tại $\lim_{x \to 0, 7} f (x) = 10 000$ .

Mà f(0,7) = 10 000 nên $\lim_{x \to 0, 7} f (x) = f (0, 7) = 10 000$ .

Vì vậy hàm số liên tục tại x₀ = 0,7.

+) Tại x₀ = 20 ta có:

$\lim_{x \to 20^{-}} f (x) = \lim_{x \to 20^{-}} [10 000 + (x - 0, 7) .14 000] = 280 200$ .

$\lim_{x \to 20^{+}} f (x) = \lim_{x \to 20^{+}} [280 200 + (x - 20) .12 000] = 280 200$ .

Suy ra $\lim_{x \to 20^{-}} f (x) = \lim_{x \to 20^{+}} f (x) = 280 200$ . Do đó tồn tại $\lim_{x \to 20} f (x) = 280 200$ .

Mà f(20) = 280 200 nên $\lim_{x \to 20} f (x) = f (20) = 280 200$ .

Vì vậy hàm số liên tục tại x = 20.

Vậy hàm số T(x) liên tục trên ℝ.

Câu 2

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{2} - 4}{x + 2} k h i x \neq - 2 \\ a k h i x = - 2 \end{cases}$ . Tìm a để hàm số f(x) liên tục trên ℝ.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có:

$\lim_{x \to - 2} f (x) = \lim_{x \to - 2} \frac{x^{2} - 4}{x + 2} = \lim_{x \to - 2} \frac{(x - 2) (x + 2)}{x + 2} = \lim_{x \to - 2} (x - 2) = - 4$ .

$f (- 2) = a$ .

Để hàm số f(x) liên tục trên ℝ thì hàm số liên tục tại x = – 2

$\Leftrightarrow \lim_{x \to - 2} f (x) = f (- 2)$

$\Leftrightarrow a = - 4$

Vậy a = – 4 thì hàm số đã cho liên tục trên ℝ.

Câu 3