Cho tam giác ABC và điểm D bất kỳ. Chứng minh:

$\overrightarrow{DA}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DB}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DC}.\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$

Cho sin α = $\frac{1}{3},$  với 90° < α < 180°. Tính cos α.

Một xe đi nửa đoạn đường đầu tiên với tốc độ trung bình v₁ = 12km/h và nửa đoạn đường sau với tốc độ trung bình v₂ = 20km/h. Tính tốc độ trung bình trên cả đoạn đường. 

Cho tam giác ABC thỏa mãn $sinA=\frac{sinB+sinC}{cosB+cosC}$ . Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông.

Tính diện tích tam giác ABC có AB = 3; BC = 5; CA = 6.

Có 3 học sinh nữ và 2 học sinh nam. Ta muốn sắp xếp vào 1 bàn dài có 5 ghế ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách xếp cho 3 học sinh nữ ngồi liền nhau.

Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B và C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.

a) Chứng minh OA vuông góc với BC tại H.

b) Từ B vẽ đường kính BD của (O), đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại E (khác D), Chứng minh: AE.AD = AH.AO.

Có bao nhiêu số tròn nghìn có 5 chữ số?