Hình thang ABCD (AB // CD) có $\widehat{\text{ACD}}=\widehat{\text{BDC}}$. Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân.

Xét ∆AMN có AM = AN (giả thiết).

Do đó ∆AMN cân tại A, suy ra $\widehat{M_1}=\frac{180°-\widehat{A_2}}{2}.$

Vì ∆ABC cân tại A nên $\widehat{B_1}=\frac{180°-\widehat{A_1}}{2}.$

Lại có $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$ (hai góc đối đỉnh) nên $\widehat{B_1}=\widehat{M_1}.$

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên MN // BC.

Vậy tứ giác MNBC là hình thang.  (1)

Mặt khác, AB = AC; AM = AN.

Suy ra AB + AM = AC + AN, do đó MB = NC  (2)

Từ (1) và (2) suy ra MNBC là hình thang cân.

Do BE, CD là hai đường cao nên BE ⊥ AC, CD ⊥ AB.

Xét ∆BEC vuông tại E và ∆CDB vuông tại D, ta có:

BC là cạnh chung; $\widehat{\text{ECB}}=\widehat{\text{DBC}}$ (do ∆ABC cân tại A)

Do đó ∆BEC = ∆CDB (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra EC = BD (hai cạnh tương ứng)

Mà AC = AB nên AC ‒ EC = AB ‒ BD, hay AE = AD

Do đó ∆ADE cân tại A suy ra $\widehat{\text{ADE}}=\widehat{\text{AED}}=\frac{180°-\widehat{A}}{2}.$ (1)

Vì ∆ABC cân tại A nên $\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{ACB}}=\frac{180°-\widehat{A}}{2}.$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{\text{ADE}}=\widehat{\text{ABC}}$

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên DE // BC

Suy ra tứ giác BDEC là hình thang.

Hình thang BDEC có $\widehat{DBC}=\widehat{ECB}$ nên là hình thang cân.