Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M, trên tia đối của tia AC lấy điểm N sao cho AM = AN. Chứng minh tứ giác MNBC là hình thang cân.

Do BE, CD là hai đường cao nên BE ⊥ AC, CD ⊥ AB.

Xét ∆BEC vuông tại E và ∆CDB vuông tại D, ta có:

BC là cạnh chung; $\widehat{\text{ECB}}=\widehat{\text{DBC}}$ (do ∆ABC cân tại A)

Do đó ∆BEC = ∆CDB (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra EC = BD (hai cạnh tương ứng)

Mà AC = AB nên AC ‒ EC = AB ‒ BD, hay AE = AD

Do đó ∆ADE cân tại A suy ra $\widehat{\text{ADE}}=\widehat{\text{AED}}=\frac{180°-\widehat{A}}{2}.$ (1)

Vì ∆ABC cân tại A nên $\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{ACB}}=\frac{180°-\widehat{A}}{2}.$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{\text{ADE}}=\widehat{\text{ABC}}$

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên DE // BC

Suy ra tứ giác BDEC là hình thang.

Hình thang BDEC có $\widehat{DBC}=\widehat{ECB}$ nên là hình thang cân.

Tứ giác ABCD có tổng 4 góc bằng 360° nên $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360°$

Mà $\widehat{A}+\widehat{D}=\widehat{B}+\widehat{C}.$

Do đó $2\cdot \left(\widehat{A}+\widehat{D}\right)=360°$ hay $\widehat{A}+\widehat{D}=180°$.

Suy ra AB // CD.

Vậy tứ giác ABCD là hình thang.