Cho tam giác ABC cân tại A, có hai đường cao là BE và CD (D ∈ AB, E ∈ AC). Chứng minh tứ giác BDEC là hình thang cân.

Xét ∆AMN có AM = AN (giả thiết).

Do đó ∆AMN cân tại A, suy ra $\widehat{M_1}=\frac{180°-\widehat{A_2}}{2}.$

Vì ∆ABC cân tại A nên $\widehat{B_1}=\frac{180°-\widehat{A_1}}{2}.$

Lại có $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$ (hai góc đối đỉnh) nên $\widehat{B_1}=\widehat{M_1}.$

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên MN // BC.

Vậy tứ giác MNBC là hình thang.  (1)

Mặt khác, AB = AC; AM = AN.

Suy ra AB + AM = AC + AN, do đó MB = NC  (2)

Từ (1) và (2) suy ra MNBC là hình thang cân.

Gọi E là giao điểm của AC và BD.

Trong ∆ECD, ta có ${\widehat{C}}_1=\widehat{D_1}$ nên ∆ECD cân tại E, suy ra EC = ED. (1)

Ta có: AB // CD nên

⦁ $\widehat{\text{EBA}}=\widehat{D_1}$ (hai góc so le trong);

⦁ $\widehat{\text{EAB}}=\widehat{C_1}$ (hai góc so le trong);

⦁ ${\widehat{C}}_1=\widehat{D_1}$ (giả thiết).

Suy ra $\widehat{\text{EBA}}=\widehat{\text{EAB}}$, do đó ∆BEA cân tại E.

Nên AE = BE. (2)

Ta có: AC = AE + EC; BD = BE + ED (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra AC = BD.

Hình thang ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên ABCD là hình thang cân.