Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Qua O, vẽ một đường thẳng cắt AB và CD lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng O là trung điểm của MN.

a) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD

Suy ra $\widehat{\text{ABD}}=\widehat{\text{CDB}}$ (hai góc so le trong) hay $\widehat{\text{ABH}}=\widehat{\text{CDK}}$.

Xét ∆AHB vuông tại H và ∆CKD vuông tại K, ta có:

AB = CD (do ABCD là hình bình hành); $\widehat{\text{ABH}}=\widehat{\text{CDK}}$ (chứng minh trên).

Suy ra ∆AHB  = ∆CKD (cạnh huyền – góc nhọn)

Do đó AH = CK (hai cạnh tương ứng)

Ta có: AH ⊥ BD, CK ⊥ BD suy ra AH // CK.

Tứ giác AHCK có: AH // CK, AH = CK nên là hình bình hành.

b) Vì AHCK là hình bình hành nên AK // CH, hay AM // CN. (1)

Hơn nữa, ABCD là hình bình hành và N ∈ AD, M ∈ BC nên AN // CM. (2)

Từ (1) và (2) suy ra ANCM là hình bình hành.

Vậy AN = CM.

c) Tứ giác AHCK là hình bình hành có hai đường chéo AC, HK cắt nhau tại trung điểm

O của HK nên O cũng là trung điểm của AC.

Tứ giác ANCM là hình bình hành có hai đường chéo AC, NM cắt nhau tại trung điểm

O của AC nên O cũng là trung điểm của MN.

Vậy M, O, N thẳng hàng.

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD và AB // CD.

Suy ra $\widehat{\text{ABM}}=\widehat{\text{CDN}}$ (hai góc so le trong).

Xét ∆AMB và ∆CND, ta có:

AB = CD (chứng minh trên);

$\widehat{\text{ABM}}=\widehat{\text{CDN}}$ (chứng minh trên);

BM = DN (giả thiết).

Suy ra ∆AMB = ∆CND (c.g.c).

b) Ta có ∆AMB = ∆CND (theo câu a), suy ra AM = CN (1)

Ta có: BM + MN = BN và DN + MN = DM; mà BM = DN, suy ra BN = DM.

Xét ∆ABN và ∆CDM, ta có:

AB = CD (chứng minh trên);

$\widehat{\text{ABN}}=\widehat{\text{CDM}}\text{ ;}$

BN = DM (chứng minh trên)

Suy ra ∆ABN = ∆CDM (c.g.c), suy ra AN = CM (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AMCN là hình bình hành.

c) Vì AMCN là hình bình hành nên OA = OC.

∆ABC có OA = OC, suy ra BO là đường trung tuyến của ∆ABC.

ABCD là hình bình hành nên khi O là trung điểm của đường chéo AC thì O cũng là trung điểm của đường chéo BD, khi đó $BO=\frac{1}{2}BD$

Ta lại có: $BM=\frac{1}{3}BD$, suy ra $BM=\frac{2}{3}BO$

Do đó M là trọng tâm ∆ABC.

Khi đó $AM=\frac{2}{3}AI,MI=\frac{1}{3}AI.$ Suy ra AM = 2MI.

d) Vì AMCN là hình bình hành nên AM // CN, mà M ∈ AI, N ∈ CK, nên AI // CK. (3)

Hơn nữa, AD // BC, K ∈ AD, I ∈ BC, nên AK // CI (4)

Từ (3), (4) suy ra AKCI là hình bình hành.

Mà O là trung điểm của AC, suy ra O cũng là trung điểm của KI hay I và K đối xứng nhau qua O.