Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OB và OD. Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành.

a) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD

Suy ra $\widehat{\text{ABD}}=\widehat{\text{CDB}}$ (hai góc so le trong) hay $\widehat{\text{ABH}}=\widehat{\text{CDK}}$.

Xét ∆AHB vuông tại H và ∆CKD vuông tại K, ta có:

AB = CD (do ABCD là hình bình hành); $\widehat{\text{ABH}}=\widehat{\text{CDK}}$ (chứng minh trên).

Suy ra ∆AHB  = ∆CKD (cạnh huyền – góc nhọn)

Do đó AH = CK (hai cạnh tương ứng)

Ta có: AH ⊥ BD, CK ⊥ BD suy ra AH // CK.

Tứ giác AHCK có: AH // CK, AH = CK nên là hình bình hành.

b) Vì AHCK là hình bình hành nên AK // CH, hay AM // CN. (1)

Hơn nữa, ABCD là hình bình hành và N ∈ AD, M ∈ BC nên AN // CM. (2)

Từ (1) và (2) suy ra ANCM là hình bình hành.

Vậy AN = CM.

c) Tứ giác AHCK là hình bình hành có hai đường chéo AC, HK cắt nhau tại trung điểm

O của HK nên O cũng là trung điểm của AC.

Tứ giác ANCM là hình bình hành có hai đường chéo AC, NM cắt nhau tại trung điểm

O của AC nên O cũng là trung điểm của MN.

Vậy M, O, N thẳng hàng.

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD và AB // CD.

Suy ra $\widehat{\text{ABM}}=\widehat{\text{CDN}}$ (hai góc so le trong).

Xét ∆AMB và ∆CND, ta có:

AB = CD (chứng minh trên);

$\widehat{\text{ABM}}=\widehat{\text{CDN}}$ (chứng minh trên);

BM = DN (giả thiết).

Suy ra ∆AMB = ∆CND (c.g.c).

b) Ta có ∆AMB = ∆CND (theo câu a), suy ra AM = CN (1)

Ta có: BM + MN = BN và DN + MN = DM; mà BM = DN, suy ra BN = DM.

Xét ∆ABN và ∆CDM, ta có:

AB = CD (chứng minh trên);

$\widehat{\text{ABN}}=\widehat{\text{CDM}}\text{ ;}$

BN = DM (chứng minh trên)

Suy ra ∆ABN = ∆CDM (c.g.c), suy ra AN = CM (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AMCN là hình bình hành.

c) Vì AMCN là hình bình hành nên OA = OC.

∆ABC có OA = OC, suy ra BO là đường trung tuyến của ∆ABC.

ABCD là hình bình hành nên khi O là trung điểm của đường chéo AC thì O cũng là trung điểm của đường chéo BD, khi đó $BO=\frac{1}{2}BD$

Ta lại có: $BM=\frac{1}{3}BD$, suy ra $BM=\frac{2}{3}BO$

Do đó M là trọng tâm ∆ABC.

Khi đó $AM=\frac{2}{3}AI,MI=\frac{1}{3}AI.$ Suy ra AM = 2MI.

d) Vì AMCN là hình bình hành nên AM // CN, mà M ∈ AI, N ∈ CK, nên AI // CK. (3)

Hơn nữa, AD // BC, K ∈ AD, I ∈ BC, nên AK // CI (4)

Từ (3), (4) suy ra AKCI là hình bình hành.

Mà O là trung điểm của AC, suy ra O cũng là trung điểm của KI hay I và K đối xứng nhau qua O.