Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB. Gọi M là trung điểm của AD. Kẻ CE vuông góc với AB tại E, MF vuông góc với CE tại F, MF cắt BC tại N. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác MDCN là hình thoi;
b) Tam giác EMC là tam giác cân;
c) .
Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB. Gọi M là trung điểm của AD. Kẻ CE vuông góc với AB tại E, MF vuông góc với CE tại F, MF cắt BC tại N. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác MDCN là hình thoi;
b) Tam giác EMC là tam giác cân;
c) .
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Ta có: MF ⊥ CE, AB ⊥ CE, suy ra MN // AB // CD.
Xét tứ giác MDCN ta có: MD // CN (do AD // BC; M ∈ AD, N ∈ BC) và MN // CD (chứng minh trên).
Do đó tứ giác MDCN là hình bình hành.
Mặt khác M là trung điểm của AD nên
Lại có AD = 2AB mà AB = CD (do ABCD là hình bình hành) nên
Do đó MD = CD.
Suy ra hình bình hành MDCN là hình thoi.
b) Xét tứ giác ADCE ta có AE // CD (theo câu a).
Do đó, tứ giác ADCE là hình thang với hai đáy AE và CD.
Xét hình thang ADCE có:
M là trung điểm AD (giả thiết);
AE // MF // CD (theo câu a).
Theo chứng minh ở Bài 5, trang 63, SBT Toán 8 Tập Một, ta có: F là trung điểm của CE.
Xét ∆EMC có MF là đường trung tuyến ứng với cạnh CE và MF ⊥ CE (giả thiết).
Do đó ∆EMC cân tại M.
c) Tứ giác MDCN là hình thoi nên (tính chất đường chéo của hình thoi).
Mà ∆EMC cân tại M nên
Ta có . (1)
Lại có (hai góc so le trong). (2)
Từ (1) và (2) suy ra .
Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD
Suy ra (hai góc so le trong) hay .
Xét ∆AHB vuông tại H và ∆CKD vuông tại K, ta có:
AB = CD (do ABCD là hình bình hành); (chứng minh trên).
Suy ra ∆AHB = ∆CKD (cạnh huyền – góc nhọn)
Do đó AH = CK (hai cạnh tương ứng)
Ta có: AH ⊥ BD, CK ⊥ BD suy ra AH // CK.
Tứ giác AHCK có: AH // CK, AH = CK nên là hình bình hành.
b) Vì AHCK là hình bình hành nên AK // CH, hay AM // CN. (1)
Hơn nữa, ABCD là hình bình hành và N ∈ AD, M ∈ BC nên AN // CM. (2)
Từ (1) và (2) suy ra ANCM là hình bình hành.
Vậy AN = CM.
c) Tứ giác AHCK là hình bình hành có hai đường chéo AC, HK cắt nhau tại trung điểm
O của HK nên O cũng là trung điểm của AC.
Tứ giác ANCM là hình bình hành có hai đường chéo AC, NM cắt nhau tại trung điểm
O của AC nên O cũng là trung điểm của MN.
Vậy M, O, N thẳng hàng.
Lời giải
Tứ giác ABCD là hình bình hành nên OA = OC và OB = OD.
Ta có: (N là trung điểm của OD); (M là trung điểm của OB); OB = OD (chứng minh trên).
Suy ra OM = ON.
Xét tứ giác AMCN ta có: OM = ON, OA = OC (chứng minh trên)
Do đó, tứ giác AMCN là hình bình hành.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo