Cho tam giác ABC cân tại A có BC = 6 cm. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC.

a) Tính độ dài MN. Chứng minh MBCN là hình thang cân.

b) Gọi K là điểm đối xứng của B qua N. Chứng minh tứ giác ABCK là hình bình hành.

c) Gọi H là điểm đối xứng của P qua M. Chứng minh AHBP là hình chữ nhật.

d) Chứng minh AMPN là hình thoi.

a) ∆ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC (giả thiết).

Theo bài 4, trang 63, SBT Toán 8 Tập Một, ta có:

MN // BC  và $\text{MN}=\frac{1}{2}\text{BC}=\frac{1}{2}\cdot 6=3$ (cm).

Xét tứ giác MNCB có MN // BC (chứng minh trên).

Do đó, tứ giác MNCB là hình thang có hai đáy là MN, BC.

Ta lại có $\widehat{B}=\widehat{C}$ (do ∆ABC cân tại A).

Suy ra hình thang MNCB là hình thang cân.

b) Xét tứ giác ABCK có:

N là trung điểm của AC (giả thiết);

N là trung điểm của BK (K là điểm đối xứng của B qua N).

Do đó, tứ giác ABCK là hình bình hành.

c) Xét tứ giác AHBP có:

M là trung điểm của AB (giả thiết);

M là trung điểm của HP (H là điểm đối xứng của P qua M).

Do đó, tứ giác AHBP là hình bình hành (1)

∆ABC cân tại A có AP là đường trung tuyến ứng với cạnh BC nên cũng đồng thời là đường cao

Do đó AP ⊥ BC  tại P, suy ra $\widehat{\text{APB}}=90°$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra AHBP là hình chữ nhật.

d) ∆ABC có M, P lần lượt là trung điểm của AB, BC (giả thiết).

Theo bài 4, trang 63, SBT Toán 8 Tập Một, ta có:

MP // AC và $\text{MP}=\frac{1}{2}\text{AC}$ hay MP // AN (N ∈ AC) và $\text{MP}=\text{AN}\left(=\frac{1}{2}\text{AC}\right)$.

Xét tứ giác AMPN có:

MP = AN (chứng minh trên);

MP // AN (chứng minh trên).

Do đó, tứ giác AMPN là hình bình hành (3)

Mặt khác, $\text{AM}=\frac{1}{2}\text{AB},\text{AN}=\frac{1}{2}\text{AC}$ và AB = AC nên AM = AN (4)

Từ (3) và (4) suy ra AMPN là hình thoi.