Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC. Gọi I là trung điểm của AB và K là trung điểm của CD. Chứng minh:

a) AIKD và BIKC là hình vuông.

b) $\text{IK}=\frac{\text{DC}}{2}$và $\widehat{\text{DIC}}=90°.$

a) Ta có ABCD là hình bình hành nên AD // BC.

Suy ra $\widehat{\text{ADB}}=\widehat{\text{DBC}}$ (hai góc so le trong).

Do đó $\frac{\widehat{\text{ADB}}}{2}=\frac{\widehat{\text{DBC}}}{2}$

Suy ra $\widehat{\text{EDB}}=\widehat{\text{KBD}}$ (do DE, BK lần lượt là đường phân giác của $\widehat{\text{ADB}}$ và $\widehat{\text{DBC}}$)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên DE // BK.

Vậy DE // BK.

b) Xét ∆DAB có DE vừa là đường cao vừa là đường phân giác, suy ra ∆DAB cân tại D.

Khi đó, DA = DB.

c) Xét tứ giác DEBK có: DE // BK, BE // DK.

Suy ra DEBK là hình bình hành.

Mà $\widehat{E}=90°$ nên DEBK là hình chữ nhật.

Để tứ giác DEBK là hình vuông thì DE = EB.

Mà ∆DAB cân tại D nên DE vừa là đường cao vừa là trung tuyến của ∆DAB.

Suy ra $\text{DE}=\text{EB}=\frac{\text{AB}}{2},$ suy ra ∆DAB vuông tại D hay $\widehat{\text{ADB}}=90°.$

a) ∆ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC (giả thiết).

Theo bài 4, trang 63, SBT Toán 8 Tập Một, ta có:

MN // BC  và $\text{MN}=\frac{1}{2}\text{BC}=\frac{1}{2}\cdot 6=3$ (cm).

Xét tứ giác MNCB có MN // BC (chứng minh trên).

Do đó, tứ giác MNCB là hình thang có hai đáy là MN, BC.

Ta lại có $\widehat{B}=\widehat{C}$ (do ∆ABC cân tại A).

Suy ra hình thang MNCB là hình thang cân.

b) Xét tứ giác ABCK có:

N là trung điểm của AC (giả thiết);

N là trung điểm của BK (K là điểm đối xứng của B qua N).

Do đó, tứ giác ABCK là hình bình hành.

c) Xét tứ giác AHBP có:

M là trung điểm của AB (giả thiết);

M là trung điểm của HP (H là điểm đối xứng của P qua M).

Do đó, tứ giác AHBP là hình bình hành (1)

∆ABC cân tại A có AP là đường trung tuyến ứng với cạnh BC nên cũng đồng thời là đường cao

Do đó AP ⊥ BC  tại P, suy ra $\widehat{\text{APB}}=90°$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra AHBP là hình chữ nhật.

d) ∆ABC có M, P lần lượt là trung điểm của AB, BC (giả thiết).

Theo bài 4, trang 63, SBT Toán 8 Tập Một, ta có:

MP // AC và $\text{MP}=\frac{1}{2}\text{AC}$ hay MP // AN (N ∈ AC) và $\text{MP}=\text{AN}\left(=\frac{1}{2}\text{AC}\right)$.

Xét tứ giác AMPN có:

MP = AN (chứng minh trên);

MP // AN (chứng minh trên).

Do đó, tứ giác AMPN là hình bình hành (3)

Mặt khác, $\text{AM}=\frac{1}{2}\text{AB},\text{AN}=\frac{1}{2}\text{AC}$ và AB = AC nên AM = AN (4)

Từ (3) và (4) suy ra AMPN là hình thoi.