Cho tam giác ABC nhọn có hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng

a) ΔAEB ᔕ ΔAFC.

b) \[\frac{{HE}}{{HC}} = \frac{{HF}}{{HB}}\].

c) ΔHEF ᔕ ΔHCB.

Lời giải:

a) Xét tam giác vuông ABH và CBA ta có:

\[\widehat B\] chung

Suy ra ΔABH ᔕ ΔCBA nên \[\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{BH}}{{AB}}\;\] hay AB² = BH.BC

b) c) Tứ giác AEHF có 4 góc vuông suy ra AEHF là hình chữ nhật 

Do đó \[\widehat {AEF} = \widehat {AEH}\]

ΔABH ᔕ ΔCBA nên \[\widehat {EAH} = \widehat {ACB}\]

Xét tam giác AEF và ACB ta có:

\[\widehat A\] chung

\[\widehat {EAH} = \widehat {ACB}\]

Suy ra ΔAEF ᔕ ΔACB (g.g) nên \[\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AF}}{{AB}}\;\] hay AE.AB = AF.AC

d) Xét tam giác vuông HNI và HFC ta có:

\[\widehat H\] chung

Suy ra ΔHNI ᔕ ΔHFC (g.g)

Nên \[\frac{{HN}}{{HF}} = \frac{{HI}}{{HC}}\;\] hay \[\frac{{HN}}{{HI}} = \frac{{HF}}{{HC}}\]

Xét tam giác HNF và HIC ta có:

\[\widehat H\] chung

\[\frac{{HN}}{{HI}} = \frac{{HF}}{{HC}}\]

Lời giải:

a) Xét tam giác vuông ABM và ACN có:

\[\widehat A\] chung

Suy ra ΔABM ᔕ ΔACN (g.g)

Nên \[\frac{{AM}}{{AN}} = \frac{{AB}}{{AC}}\;\] hay \[\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\]

Xét tam giác AMN và ABC ta có:

\[\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\]

\[\widehat A\] chung

Suy ra ΔAMN ᔕ ΔABC (c.g.c).

b) ΔAMN ᔕ ΔABC, AK là phân giác của \[\widehat {BAC}\] 

Suy ra \[\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{AI}}{{AK}}\]

Xét tam giác AIM và AKB ta có:

\[\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AI}}{{AK}}\]

\[\widehat {IAM} = \widehat {IAN}\] (vì AK là phân giác \[\widehat {BAC}\])

Suy ra ΔAIM ᔕ ΔAKB nên \[\frac{{IM}}{{KB}} = \frac{{AI}}{{AK}}\;\] (1)

Xét tam giác AIN và AKC ta có:

\[\frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{AI}}{{AK}}\]

\[\widehat {IAM} = \widehat {IAN}\] (vì AK là phân giác \[\widehat {BAC}\])

Suy ra ΔAIN ᔕ ΔAKC nên \[\frac{{IN}}{{KC}} = \frac{{AI}}{{AK}}\;\] (2)

Từ (1) và (2) suy ra \[\frac{{IM}}{{KB}} = \frac{{IN}}{{KC}}\;\] hay \[\frac{{IM}}{{IN}} = \frac{{KB}}{{KC}}\].