Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Kẻ đường cao AH (H ∈ BC).

a) Chứng minh rằng ΔABH ᔕ ΔCBA, suy ra AB² = BH.BC.

b) Vẽ HE vuông góc với AB tại E, vẽ HF vuông góc với AC tại F. Chứng minh rằng AE.AB = AF.AC.

c) Chứng minh rằng ΔAFE ᔕ ΔABC.

d) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng HF tại I. Vẽ IN vuông góc BC tại N. Chứng minh rằng ΔHNF ᔕ ΔHIC.

Lời giải:

a) Xét tam giác vuông ABM và ACN có:

\[\widehat A\] chung

Suy ra ΔABM ᔕ ΔACN (g.g)

Nên \[\frac{{AM}}{{AN}} = \frac{{AB}}{{AC}}\;\] hay \[\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\]

Xét tam giác AMN và ABC ta có:

\[\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\]

\[\widehat A\] chung

Suy ra ΔAMN ᔕ ΔABC (c.g.c).

b) ΔAMN ᔕ ΔABC, AK là phân giác của \[\widehat {BAC}\] 

Suy ra \[\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{AI}}{{AK}}\]

Xét tam giác AIM và AKB ta có:

\[\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AI}}{{AK}}\]

\[\widehat {IAM} = \widehat {IAN}\] (vì AK là phân giác \[\widehat {BAC}\])

Suy ra ΔAIM ᔕ ΔAKB nên \[\frac{{IM}}{{KB}} = \frac{{AI}}{{AK}}\;\] (1)

Xét tam giác AIN và AKC ta có:

\[\frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{AI}}{{AK}}\]

\[\widehat {IAM} = \widehat {IAN}\] (vì AK là phân giác \[\widehat {BAC}\])

Suy ra ΔAIN ᔕ ΔAKC nên \[\frac{{IN}}{{KC}} = \frac{{AI}}{{AK}}\;\] (2)

Từ (1) và (2) suy ra \[\frac{{IM}}{{KB}} = \frac{{IN}}{{KC}}\;\] hay \[\frac{{IM}}{{IN}} = \frac{{KB}}{{KC}}\].