Cho ΔABC có hai đường trung tuyến BN, CP vuông góc với nhau tại G. Biết độ dài BC = 5cm. Độ dài AG là:

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Xét ∆AHB (vuông tại H) và AHC (vuông tại H) có:

AB = AC (do ΔABC cân tại A);

AH là cạnh chung

Do đó: ΔAHB = ΔAHC (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra HB = HC (hai cạnh tương ứng)

Ta có CE = CB = HB + HC = 2CH

Xét ΔADE có EH là đường trung tuyến mà CE = 2CH nên C là trọng tâm của ΔADE.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của ΔABC.

Suy ra $BG=\frac{2}{3}BD;CG=\frac{2}{3}CE$ mà BD = CE

Do đó BG = CG.

Khi đó BD – BG = CE – CG hay GD = GE.

Xét ΔBGE và ΔCGD có:

BG = CG (chứng minh trên);

$\widehat{BGE}=\widehat{CGD}$ (hai góc đối đỉnh);

GE = GD (chứng minh trên)

Do đó ΔBGE = ΔCGD (c.g.c)

Suy ra BE = CD (hai cạnh tương ứng).

Do BD và CE là hai đường trung tuyến của ∆ABC nên D, E lần lượt là trung điểm của AC, AB. Do đó $AE=BE=\frac{1}{2}AB$ và $AD=CD=\frac{1}{2}AC.$

Mà BE = CD (chứng minh trên) nên AB = AC, suy ra tam giác ABC cân tại A.