Trên một đường thẳng, đặt ba đoạn thẳng liên tiếp AB = BC = CD.

Tìm tỉ số \[\frac{{AB}}{{BD}}\]; \[\frac{{AB}}{{AD}}\]; \[\frac{{AC}}{{AD}}\].

Ta có BM = AB – AM = 9 – 3 = 6 (cm)

Xét ∆ABC có MN // BC nên theo định lí Thalès, ta có \[\frac{{AM}}{{BM}} = \frac{{AN}}{{NC}}\].

Suy ra NC = \[\frac{{AN.BM}}{{AM}}\]= \[\frac{{4.6}}{3}\]= 8 (cm)

Xét ∆AMN vuông tại A, áp dụng định lý Pythagore, ta có:

MN² = AM² + AN² = 3² + 4² = 25.

Do đó MN = 5 cm.

Xét ∆ABC có MN // BC, theo hệ quả của định lí Thalès, ta có \[\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{AM}}{{AB}}\].

Suy ra BC = \[\frac{{MN.AB}}{{AM}}\]= \[\frac{{5.9}}{3}\]= 15 (cm).

Vậy NC = 8 cm, MN = 5 cm, BC = 15 cm.

Lấy điểm F trên tia AM sao cho M là trung điểm của EF.

Tứ giác MEFC có hai hai đường chéo BC và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên tứ giác MEFC là hình bình hành.

Suy ra CF // BE và CF // EN.

Ta có AE = 3EM và ME = MF (vì M là trung điểm của EF).

Khi đó, \[\frac{{AE}}{{EF}} = \frac{3}{2}\].

Xét ∆ACF có CF // EN nên theo định lí Thalès, ta có: \[\frac{{AN}}{{NC}} = \frac{{AE}}{{EF}} = \frac{3}{2}\].

Vậy \[\frac{{AN}}{{NC}} = \frac{3}{2}\].