Cho tam giác ABC có các đường phân giác AD, BE, CF (D ∈ BC, E ∈ AC, F ∈ AB) cắt nhau tại I. Chứng minh:

\[\frac{{DI}}{{DA}} = \frac{{BC}}{{AB + BC + CA}}\];

• Vì BI là phân giác của \[\widehat {ABC}\] trong ∆ABC nên ta có \[\frac{{IA}}{{ID}} = \frac{{AB}}{{BD}}\].

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\[\frac{{IA}}{{AB}} = \frac{{ID}}{{BD}} = \frac{{IA + ID}}{{AB + BD}} = \frac{{AD}}{{AB + BD}}\] suy ra \[\frac{{ID}}{{AD}} = \frac{{BD}}{{AB + BD}}\]      (1)

• Vì CI là phân giác của \[\widehat {ACB}\] trong ∆ABC nên ta có \[\frac{{IA}}{{ID}} = \frac{{CA}}{{CD}}\].

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\[\frac{{IA}}{{CA}} = \frac{{DI}}{{CD}} = \frac{{IA + ID}}{{CA + CD}} = \frac{{DA}}{{CA + CD}}\] suy ra \[\frac{{DI}}{{AD}} = \frac{{CD}}{{CA + CD}}\]     (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \[\frac{{BD}}{{AB + BD}} = \frac{{CD}}{{CA + CD}}\].

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\[\frac{{BD}}{{AB + BD}} = \frac{{CD}}{{CA + CD}}\]\[ = \frac{{BD + CD}}{{AB + BD + CA + CD}} = \frac{{BC}}{{AB + BC + CA}}\]    (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \[\frac{{DI}}{{DA}} = \frac{{BC}}{{AB + BC + CA}}\].