Cho tam giác ABC có các đường phân giác AD, BE, CF (D ∈ BC, E ∈ AC, F ∈ AB) cắt nhau tại I. Chứng minh:
\[\frac{{DI}}{{DA}} = \frac{{BC}}{{AB + BC + CA}}\];
Cho tam giác ABC có các đường phân giác AD, BE, CF (D ∈ BC, E ∈ AC, F ∈ AB) cắt nhau tại I. Chứng minh:
\[\frac{{DI}}{{DA}} = \frac{{BC}}{{AB + BC + CA}}\];
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
• Vì BI là phân giác của \[\widehat {ABC}\] trong ∆ABC nên ta có \[\frac{{IA}}{{ID}} = \frac{{AB}}{{BD}}\].
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\[\frac{{IA}}{{AB}} = \frac{{ID}}{{BD}} = \frac{{IA + ID}}{{AB + BD}} = \frac{{AD}}{{AB + BD}}\] suy ra \[\frac{{ID}}{{AD}} = \frac{{BD}}{{AB + BD}}\] (1)
• Vì CI là phân giác của \[\widehat {ACB}\] trong ∆ABC nên ta có \[\frac{{IA}}{{ID}} = \frac{{CA}}{{CD}}\].
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\[\frac{{IA}}{{CA}} = \frac{{DI}}{{CD}} = \frac{{IA + ID}}{{CA + CD}} = \frac{{DA}}{{CA + CD}}\] suy ra \[\frac{{DI}}{{AD}} = \frac{{CD}}{{CA + CD}}\] (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \[\frac{{BD}}{{AB + BD}} = \frac{{CD}}{{CA + CD}}\].
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\[\frac{{BD}}{{AB + BD}} = \frac{{CD}}{{CA + CD}}\]\[ = \frac{{BD + CD}}{{AB + BD + CA + CD}} = \frac{{BC}}{{AB + BC + CA}}\] (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \[\frac{{DI}}{{DA}} = \frac{{BC}}{{AB + BC + CA}}\].
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
Vào phòng luyện đề →Luyện đề →CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Gọi G là giao điểm của AC và BD.
• Vì DN là phân giác của \[\widehat {ADC}\] trong ∆ADC nên \[\frac{{NA}}{{NC}} = \frac{{AD}}{{DC}}\].
• Vì AM là phân giác của \[\widehat {BAD}\] trong ∆ABD nên \[\frac{{MD}}{{MB}} = \frac{{AD}}{{AB}}\]= \[\frac{{AD}}{{DC}}\] (vì AB = DC).
Suy ra \[\frac{{MD}}{{MB}} = \frac{{NA}}{{NC}}\].
Do đó \[\frac{{NA}}{{MD}} = \frac{{NC}}{{MB}} = \frac{{NA + NC}}{{MD + MB}} = \frac{{AC}}{{BD}} = \frac{{AG}}{{DG}}\] (AC = 2AG; BD = 2BG)
Khi đó \[\frac{{NA}}{{AG}} = \frac{{MD}}{{DG}}\].
Xét ∆AGD có \[\frac{{NA}}{{AG}} = \frac{{MD}}{{DG}}\]nên theo định lí Thalès đảo, ta có MN // AD.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Ta có AD là phân giác của \[\widehat {BAC}\] trong ∆ABC, suy ra \[\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\].
Suy ra \[\frac{{15}}{{20}} = \frac{{AB}}{{AC}}\] hay \[\frac{{AB}}{{15}} = \frac{{AC}}{{20}}\].
Suy ra \[\frac{{A{B^2}}}{{225}} = \frac{{A{C^2}}}{{400}} = \frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{225 + 400}} = \frac{{B{C^2}}}{{625}}\] (áp dụng định lí Pythagore trong ∆ABC vuông).
Ta có BC = BD + DC = 15 + 20 = 35 (cm).
Nên \[\frac{{A{B^2}}}{{225}} = \frac{{A{C^2}}}{{400}} = \frac{{{{35}^2}}}{{625}} = \frac{{49}}{{25}}\].
Suy ra AB2 \[ = \frac{{49.225}}{{25}}\] = 441 và AC2\[ = \frac{{49.400}}{{25}}\] = 784.
Vậy AB = 21 cm; AC = 28 cm.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập