1) Ta có $\hat{O B K} = \hat{O D K} = 90 °$

$\Rightarrow \hat{O B K} + \hat{O D K} = 180 °$ .

Do đó tứ giác BODK nội tiếp.

2) Ta có KB = KD (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Ta lại có OB = OD nên OK là đường trung trực của BD

Suy ra $K O ⊥ B D \Rightarrow O I ⊥ B D .$

Xét tam giác ABK vuông tại B nên $K B^{2} = K C . K A .$

Xét tam giác OBK vuông tại B nên $K B^{2} = K I \cdot K O .$

Suy ra

K C . K A = K I . K O .

(đpcm).

3) Xét KCI và KOA ta có góc K chung, $K C \cdot K A = K I \cdot K O \Leftrightarrow \frac{K C}{K I} = \frac{K O}{K A}$ .

Suy ra $Δ K C I ∽ Δ K O A (c . g . c)$ . Suy ra $\hat{K C I} = \hat{K O A}$ . (*)

Xét tam giác ACF và BAK có $\hat{K B A} = \hat{C AF} = 90 °$ (1)

Mà tam giác OAC cân tại O nên $\hat{O A C} = \hat{O C A}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $Δ A C F ∽ Δ B A K$

Suy ra $\frac{B A}{B K} = \frac{A C}{AF} \Leftrightarrow \frac{2 B O}{B K} = \frac{2 A E}{AF} \Leftrightarrow \frac{B K}{AF} = \frac{B O}{A E}$ .

Xét tam giác AEF và BOK ta có $\hat{K B O} = \hat{E AF} = 90 °$ và $\frac{B K}{AF} = \frac{B O}{A E}$

Nên $Δ A E F ∽ Δ B O K$ suy ra $\hat{A E F} = \hat{B O K} \Rightarrow \hat{K EF} = \hat{K O A}$ (cùng bù với $\hat{A E F}$ ) (**)

Từ (*) và (**) ta có $\hat{K C I} = \hat{K EF}$ suy ra EF // CI.

Xét tam giác ACI có E là trung điểm của AC và EF // CI nên H là trung điểm của AI.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Tính giá trị của các biểu thức sau:

$A = \sqrt{16} + \sqrt{9}$

$B = \sqrt{7} + \sqrt{{(4 - \sqrt{7})}^{2}}$

Cho phương trình x² - 2x + m - 3 = 0 (m là tham số).

a) Giải phương trình khi m = 0.

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁ ; x₂ sao cho biểu thức $P = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + {(x_{1} x_{2})}^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 600m² . Biết rằng nếu tăng chiều dài 10m và giảm chiều rộng 5m thì diện tích không đổi. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết rằng $A B = 3 cm, \hat{C} = 30 °$ .

a) Tính $\hat{B}, A C, A H$ .

b) Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho MC = 2MB, tính diện tích tam giác AMC.

Cho biểu thức $P = \frac{x - 9}{\sqrt{x} + 3} + \sqrt{x} + 2$ với $x \geq 0$ .

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 4.

Cho parabol (P): y - x² và đường thẳng (d): y = x - 2.

a) Vẽ parabol (P) và đường thẳng (d) trên cùng một hệ trục toạ độ Oxy.

b) Tìm toạ độ giao điểm của Parabol (P) và đường thẳng (d) bằng phép tính.