Trong không gian, cho hai vectơ a→, b→ khác 0→. Lấy một điểm O tùy ý. a) Vẽ hai vectơ OA→=a→, OB→=b→ . b) Khi đó, hai vectơ OA→, OB→ có giá nằm trong cùng mặt phẳng (P) (Hình 10). Nêu định nghĩa góc...

a) b) Định nghĩa góc giữa hai vectơ OA→, OB→ trong mặt phẳng (P): Góc giữa hai vectơ OA→, OB→ là góc giữa hai tia OA, OB và được kí hiệu là OA→, OB→ .

Câu hỏi:

17/04/2024 459

Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ khác $\vec{0}$ . Lấy một điểm O tùy ý.

a) Vẽ hai vectơ $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}$ .

b) Khi đó, hai vectơ $\vec{O A}, \vec{O B}$ có giá nằm trong cùng mặt phẳng (P) (Hình 10). Nêu định nghĩa góc giữa hai vectơ $\vec{O A}, \vec{O B}$ trong mặt phẳng (P).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SGK Toán 12 Cánh diều Bài 1. Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Trong không gian, cho hai vectơ a, b khác 0 . Lấy một điểm O tùy ý. (ảnh 2)

b) Định nghĩa góc giữa hai vectơ $\vec{O A}, \vec{O B}$ trong mặt phẳng (P): Góc giữa hai vectơ $\vec{O A}, \vec{O B}$ là góc giữa hai tia OA, OB và được kí hiệu là $(\vec{O A}, \vec{O B})$ .

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật ABCD, mặt phẳng (ABCD) song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc E của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp EA, EB, EC, ED có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng 60° (Hình 16). Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng.

Tính trọng lượng của chiếc xe ô tô (làm tròn đến hàng đơn vị), biết rằng các lực căng $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}, \vec{F_{4}}$ đều có cường độ là 4 700 N và trọng lượng của khung sắt là 3 000 N.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi A₁, B₁, C₁, D₁ lần lượt là các điểm sao cho .

Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật ABCD, (ảnh 2)

Vì EA, EB, EC, ED có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng 60° nên EA₁, EB₁, EC₁, ED₁ bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (A₁B₁C₁D₁) một góc bằng 60°.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên A₁B₁C₁D₁ cũng là hình chữ nhật.

Gọi O là tâm của hình chữ nhật A₁B₁C₁D₁.

Ta suy ra EO ⊥ (A₁B₁C₁D₁).

Do đó, góc giữa đường thẳng EA₁ và mặt phẳng (A₁B₁C₁D₁) bằng góc EA₁O.

Suy ra $\hat{E A_{1} O} = 60 °$ .

Ta có $|\vec{F_{1}}| = |\vec{F_{2}}| = |\vec{F_{3}}| = |\vec{F_{4}}| = 4700 (N)$ nên EA₁ = EB₁ = EC₁ = ED₁ = 4 700.

Tam giác EOA₁ vuông tại O nên EO = EA₁ sin $\hat{E A_{1} O}$ = 4 700 sin 60° = 2 350 $\sqrt{3}$ .

Theo quy tắc ba điểm, ta có $\vec{E A_{1}} = \vec{E O} + \vec{O A_{1}}, \vec{E B_{1}} = \vec{E O} + \vec{O B_{1}}$ , $\vec{E C_{1}} = \vec{E O} + \vec{O C_{1}}$ , $\vec{E D_{1}} = \vec{E O} + \vec{O D_{1}}$ .

Vì O là trung điểm của A₁C₁ và B₁D₁ nên $\vec{O A_{1}} + \vec{O C_{1}} = \vec{0}, \vec{O B_{1}} + \vec{O D_{1}} = \vec{0}$ .

Từ đó suy ra $\vec{E A_{1}} + \vec{E B_{1}} + \vec{E C_{1}} + \vec{E D_{1}} = 4 \vec{E O}$ $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} + \vec{F_{4}} = 4 \vec{E O}$ .

Do đó, .

Vì chiếc khung sắt chứa xe ô tô ở vị trí cân bằng nên $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} + \vec{F_{4}} = \vec{P}$ , ở đó là trọng lực tác dụng lên khung sắt chứa xe ô tô.

Suy ra trọng lượng của khung sắt chứa chiếc xe ô tô là

$|\vec{P}| = 4 |\vec{E O}| = 4 \cdot 2 350 \sqrt{3} = 9 400 \sqrt{3}$ (N).

Vì trọng lượng của khung sắt là 3 000 N nên trọng lượng của chiếc xe ô tô là

$9400 \sqrt{3} - 3000 \approx 13 281$ (N).

Câu 2

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính $\vec{A^{'} B} \cdot \vec{D^{'} C^{'}}, \vec{D^{'} A} \cdot \vec{B C}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: $\vec{A^{'} B} = \vec{D^{'} C}$ . Do đó, $(\vec{A^{'} B}, \vec{D^{'} C^{'}}) = (\vec{D^{'} C}, \vec{D^{'} C^{'}}) = \hat{C D^{'} C^{'}}$ .

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên CDD'C' là hình vuông.

Suy ra $\hat{C D^{'} C^{'}} = 45 °$ . Vậy $(\vec{A^{'} B}, \vec{D^{'} C^{'}}) = 45 °$ .

Ta có $|\vec{A^{'} B}| = A^{'} B = \sqrt{A {A^{'}}^{2} + A B^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$ , $|\vec{D^{'} C^{'}}| = D^{'} C^{'} = a$ .

Do đó, $\vec{A^{'} B} \cdot \vec{D^{'} C^{'}} = |\vec{A^{'} B}| \cdot |\vec{D^{'} C^{'}}| \cdot \cos (\vec{A^{'} B}, \vec{D^{'} C^{'}}) = a \sqrt{2} \cdot a \cdot \cos 45 ° = a^{2}$ .

Ta có: $\vec{D^{'} A} = \vec{C^{'} B}$ . Do đó, $(\vec{D^{'} A}, \vec{B C}) = (\vec{C^{'} B}, \vec{B C}) = \hat{C B C^{'}}$ .

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên CBB'C' là hình vuông.

Suy ra $\hat{C B C^{'}} = 45 °$ . Vậy $(\vec{D^{'} A}, \vec{B C}) = 45 °$ .

Ta có $|\vec{D^{'} A}| = D^{'} A = \sqrt{D {D^{'}}^{2} + D A^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$ , $|\vec{B C}| = B C = a$ .

Do đó,

\vec{D^{'} A} \cdot \vec{B C} = |\vec{D^{'} A}| \cdot |\vec{B C}| \cdot \cos (\vec{D^{'} A}, \vec{B C}) = a \sqrt{2} \cdot a \cdot \cos 45 ° = a^{2}

Câu 3