Cho hình bình hành ABCD nội tiếp đường tròn (O). Chứng minh rằng ABCD là hình chữ nhật.

⦁ Xét ∆ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC nên MN là đường trung bình của tam giác. Do đó MN // AC và

Chứng minh tương tự đối với ∆ACD, ta cũng có PQ // AC và

Từ (1) và (2) ta có MN // PQ và MN = PQ.

Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Vì ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD. (3)

Xét ∆ABD có M, Q lần lượt là trung điểm của AB, AD nên MQ là đường trung bình của tam giác. Do đó MQ // BD. (4)

Từ (1), (3) và (4) suy ra MN ⊥ MQ hay

Khi đó hình bình hành MNPQ là hình chữ nhật.

⦁ Vì MNPQ là hình chữ nhật nên đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật có tâm là giao điểm hai đường chéo MP và NQ.

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Khi đó O là trung điểm của AC và BD.

Vì ABCD là hình thoi nên AB // CD và AB = CD.

Lại có M, P lần lượt là trung điểm của AB, CD nên AM = MB = CP = PD và AM // CP.

Do đó tứ giác AMCP là hình bình hành.

Suy ra hai đường chéo AC và MP cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Lại có O là trung điểm của AC nên O cũng là trung điểm của MP.

Khi đó, đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật MNPQ có tâm là điểm O và bán kính là OM.

Xét ∆ABC có M, O lần lượt là trung điểm của AB, AC nên MO là đường trung bình của tam giác. Do đó

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD bằng 1,5 cm.

Vì BE, CF là hai đường cao của tam giác ABC nên BE ⊥ AC và CF ⊥ AB.

Xét ∆BCE vuông tại E, đường tròn ngoại tiếp tam giác có tâm là trung điểm O của BC và bán kính bằng nửa BC hay ba điểm B, C, E cùng nằm trên đường tròn tâm O, đường kính BC.

Xét ∆BCF vuông tại F, đường tròn ngoại tiếp tam giác có tâm là trung điểm O của BC và bán kính bằng nửa BC hay ba điểm B, C, F cùng nằm trên đường tròn tâm O, đường kính BC.

Do đó bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên đường tròn tâm O, đường kính BC.

Vậy tứ giác BCEF nội tiếp một đường tròn có tâm là trung điểm của cạnh BC.