Cho ngũ giác đều ABCDE nội tiếp đường tròn (O) như Hình 9.59.

Hãy tìm một phép quay thuận chiều tâm O biến điểm A thành điểm C.

¬ Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.

Khi đó ta có  

Xét ∆ABC vuông tại B (do ABCD là hình vuông), theo định lí Pythagore, ta có:

AC2 = AB2 + BC2 = 42 + 42 = 32.

Do đó

Suy ra

Chu vi của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD là:

Diện tích của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD là:

¬ Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD.

Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.

Vì ABCD là hình vuông nên hai đường chéo AC, BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Xét ∆OAB vuông tại O có OM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên

Mặt khác, ∆OAB cân tại O (vì OA = OB) nên đường trung tuyến OM đồng thời là đường cao, do đó OM ⊥ AB tại M.

Tương tự, ta có:

⦁ ON ⊥ BC tại N, OP ⊥ CD tại P, OQ ⊥ AD tại Q.

⦁ 

Mà AB = BC = CD = DA (do ABCD là hình vuông)

Nên OM = ON = OP = OQ.

Vậy đường tròn (O; OM) là đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD.

Khi đó ta có

Chu vi của đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD là:

2πr = 2π.2 = 4π (cm).

Diện tích của đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD là:

πr2 = π.22 = 4π (cm2).

Giả sử ABCDEG là khay bánh kẹo hình lục giác đều cạnh 10 cm, được chia thành 7 ngăn gồm một lúc giác đều nhỏ MNPQUT và 6 hình thang cân MNBA, NPCB, PQDC, QUED, UTGE, TMAG.

Gọi O là giao điểm của ba đường chéo chính AD, BE, CG của hình lục giác đều ABCDEG.

Hình lục giác đều MNPQUT chia thành 6 tam giác đều OMN, ONP, OPQ, OPU, OUT, OTM.

Ta dễ dàng chứng minh được các tam giác đều đó bằng nhau nên chúng có diện tích bằng nhau.

Khi đó, SMNPQUT = 6SOMN.

Kẻ OK ⊥ AB, ta có K là trung điểm của AB nên AK = 5 cm.

Ta có MN // AB (do MNBA là hình thang cân) nên OK ⊥ MN.

Gọi H là giao điểm của OK và AB, ta có OH ⊥ MN và H là trung điểm của MN.

Gọi x (cm, 0 < x < 10) là độ dài cạnh của lục giác đều MNPQUT, ta có MN = x,

Vì ABCDEG là lục giác đều nên ∆OAB là tam giác đều, do đó

Xét ∆OAK vuông tại K, ta có:

Xét ∆OMH vuông tại H, ta có:

Suy ra

Diện tích của tam giác OMN là:

Diện tích của hình thang cân MNBA là:

Để diện tích lục giác đều MNPQNT bằng hai lần diện tích mỗi hình thang (chẳng hạn hình thang MNBA) thì: 6S1 = 2S2 hay 3S1 = S2.

Do đó

Suy ra 3x2 = 100 – x2

4x2 = 100

   x2 = 25

   x = 5 (do x > 5).

Vậy cạnh hình lục giác đều nhỏ bằng 5 cm.