Người ta muốn làm một khay đựng bánh kẹo hình lục giác đều có cạnh 10 cm và chia thành 7 ngăn gồm một lục giác đều nhỏ và 6 hình thang cân như Hình 9.60. Hỏi lục giác đều nhỏ phải có cạnh bằng bao nhiêu để nó có diện tích bằng hai lần diện tích mỗi hình thang?

Giả sử ABCDEG là khay bánh kẹo hình lục giác đều cạnh 10 cm, được chia thành 7 ngăn gồm một lúc giác đều nhỏ MNPQUT và 6 hình thang cân MNBA, NPCB, PQDC, QUED, UTGE, TMAG.

Gọi O là giao điểm của ba đường chéo chính AD, BE, CG của hình lục giác đều ABCDEG.

Hình lục giác đều MNPQUT chia thành 6 tam giác đều OMN, ONP, OPQ, OPU, OUT, OTM.

Ta dễ dàng chứng minh được các tam giác đều đó bằng nhau nên chúng có diện tích bằng nhau.

Khi đó, SMNPQUT = 6SOMN.

Kẻ OK ⊥ AB, ta có K là trung điểm của AB nên AK = 5 cm.

Ta có MN // AB (do MNBA là hình thang cân) nên OK ⊥ MN.

Gọi H là giao điểm của OK và AB, ta có OH ⊥ MN và H là trung điểm của MN.

Gọi x (cm, 0 < x < 10) là độ dài cạnh của lục giác đều MNPQUT, ta có MN = x,

Vì ABCDEG là lục giác đều nên ∆OAB là tam giác đều, do đó

Xét ∆OAK vuông tại K, ta có:

Xét ∆OMH vuông tại H, ta có:

Suy ra

Diện tích của tam giác OMN là:

Diện tích của hình thang cân MNBA là:

Để diện tích lục giác đều MNPQNT bằng hai lần diện tích mỗi hình thang (chẳng hạn hình thang MNBA) thì: 6S1 = 2S2 hay 3S1 = S2.

Do đó

Suy ra 3x2 = 100 – x2

4x2 = 100

   x2 = 25

   x = 5 (do x > 5).

Vậy cạnh hình lục giác đều nhỏ bằng 5 cm.