Cho một hình lục giác đều và một hình vuông cùng nội tiếp một đường tròn. Biết rằng hình vuông có cạnh bằng 3 cm. Tính chu vi và diện tích của một hình lục giác đều đã cho.

Giả sử ABCDEG là hình lục giác đều và MNPQ là hình vuông cùng nội tiếp đường tròn (O; R). Do đó OA = OB = OC = OD = OE = OM = ON = OP = OQ = R.

Vì MNPQ là hình vuông nên đường tròn ngoại tiếp hình vuông này có tâm là giao điểm hai đường chéo.

Mặt khác, hai đường chéo MP, NQ vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Xét ∆OMN vuông tại O, theo định lí Pythagore ta có:

MN2 = OM2 + ON2

Suy ra 32 = R2 + R2, hay 2R2 = 9 nên

Vì ABCDEG nên AB = BC = CD = DE = EG = GA.

Xét ∆OAB và ∆OBC có:

OA = OB, OB = OC, AB = BC.

Do đó ∆OAB = ∆OBC (c.c.c).

Chứng minh tương tự ta có

∆OAB = ∆OBC = ∆COD = ∆DOE = ∆EOG = ∆GOA.

Suy ra

Mà

Do đó

Suy ra

Xét ∆OAB có OA = OB và nên là tam giác đều.

Như vậy các tam giác BOC, COD, DOE, EOG, GOA cũng đều là tam giác đều.

Do đó AB = BC = CD = DE = EG = GA = OA = R = (cm).

Khi đó chu vi của hình lục giác đều ABCDEG là:

AB + BC + CD + DE + EG + GA = 6R =

⦁ Gọi H là trung điểm của AB.

Tam giác ABC đều có OH là đường trung tuyến nên cũng là đường cao của tam giác.

Xét ∆OAH vuông tại H, ta có:

Diện tích của tam giác đều OAB là:

Diện tích của hình lục giác đều là: