Giải các phương trình:

a) $\frac{2x+5}{x-3}+1=\frac{5}{x-3};$

b) $\frac{5x+2}{x+1}+\frac{3}{x}=5;$

c) $\frac{x+1}{x-3}+\frac{x+3}{x-1}=2;$

d) $\frac{x+4}{x-4}-\frac{x-4}{x+4}=\frac{64}{x^2-16}.$

a) Điều kiện xác định: x ‒ 3 ≠ 0 hay x ≠ 3.

Ta có: $\frac{2x+5}{x-3}+1=\frac{5}{x-3}$ 

 $\frac{2x+5}{x-3}+\frac{1\cdot \left(x-3\right)}{x-3}=\frac{5}{x-3}$

 2x + 5 + x – 3 = 5

 3x = 3

 x = 1 (thoả mãn điều kiện xác định).

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 1.

b) Điều kiện xác định: x + 1 ≠ 0 và x ≠ 0, hay x ≠ –1 và x ≠ 0.

Ta có: $\frac{5x+2}{x+1}+\frac{3}{x}=5$

 $\frac{\left(5x+2\right)x}{x\left(x+1\right)}+\frac{3\left(x+1\right)}{x\left(x+1\right)}=\frac{5\cdot x\left(x+1\right)}{x\left(x+1\right)}$

 (5x + 2)x + 3(x + 1) = 5x(x + 1)

 5x² + 2x + 3x + 3 = 5x² + 5x

 0x = –3. Phương trình này vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

c) Điều kiện xác định: x ‒ 3 ≠ 0 và x ‒1 ≠ 0, hay x ≠ 3 và x ≠ 1.

Ta có: $\frac{x+1}{x-3}+\frac{x+3}{x-1}=2$

 $\frac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{\left(x-3\right)\left(x-1\right)}+\frac{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(x-1\right)}=\frac{2\cdot \left(x-3\right)\left(x-1\right)}{\left(x-3\right)\left(x-1\right)}$ 

 (x + 1)(x – 1) + (x + 3)(x – 3) = 2(x – 3)(x – 1)

 x² – 1 + x² – 9 = 2x² – 2x – 6x + 6

 8x = 16

 x = 2 (thoả mãn điều kiện xác định).

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2.

d) Ta có: x² ‒ 16 = (x ‒ 4)(x + 4).

Điều kiện xác định: x ‒ 4 ≠ 0 và x + 4 ≠ 0, hay x ≠ 4 và x ≠ –4.

Ta có: $\frac{x+4}{x-4}-\frac{x-4}{x+4}=\frac{64}{x^2-16}$

 $\frac{{\left(x+4\right)}^2}{\left(x-4\right)\left(x+4\right)}-\frac{{\left(x-4\right)}^2}{\left(x-4\right)\left(x+4\right)}=\frac{64}{\left(x-4\right)\left(x+4\right)}$

 (x + 4)² – (x – 4)² = 64

 x² + 8x + 16 – (x² – 8x + 16) = 64

 16x = 64

 x = 4 (không thoả mãn).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.