Một phân số có tử số bé hơn mẫu số 9 đơn vị. Nếu thêm tử số 1 đơn vị và thêm mẫu số 2 đơn vị thì được phân số mới bằng $\frac{1}{3}.$ Tìm phân số đã cho.

Gọi x (km/h) là tốc độ ô tô dự định đi quãng đường AB (x > 0).

Xe đi nửa quãng đường đầu với tốc độ là x + 15 (km/h).

Xe đi nửa quãng đường sau với tốc độ là x – 10 (km/h).

Thời gian ô tô dự định đi là: $\frac{120}{x}$ (giờ).

Nửa quãng đường AB là: 120 : 2 = 60 (km).

Thời gian ô tô đi nửa quãng đường đầu là: $\frac{60}{x+15}$ (giờ).

Thời gian ô tô đi nửa quãng đường sau là: $\frac{60}{x-10}$ (giờ).

Do ô tô đến đúng giờ dự định nên ta có phương trình: $\frac{120}{x}=\frac{60}{x+15}+\frac{60}{x-10}.$

Giải phương trình:

$\frac{120}{x}=\frac{60}{x+15}+\frac{60}{x-10}$

$\frac{2}{x}=\frac{1}{x+15}+\frac{1}{x-10}$

$\frac{2\left(x+15\right)\left(x-10\right)}{x\left(x+15\right)\left(x-10\right)}=\frac{x\left(x-10\right)}{x\left(x+15\right)\left(x-10\right)}+\frac{x\left(x+15\right)}{x\left(x+15\right)\left(x-10\right)}$

2(x + 15)(x – 10) = x(x – 10) + x(x + 15)

2(x² – 10x + 15x – 150) = x² – 10x + x² + 15x

2x² + 10x – 300 = 2x² + 5x

5x = 300

x = 60 (thoả mãn điều kiện).

Vậy thời gian ô tô dự định đi quãng đường AB là $\frac{120}{60}=2$ (giờ).

a) 5x(x – 3) + 2(x – 3) = 0

(x – 3)(5x + 2) = 0

x – 3 = 0 hoặc 5x + 2 = 0

x = 3 hoặc $x=-\frac{2}{5}.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 3 và $x=-\frac{2}{5}.$

b) 7x(x + 4) –3x – 12 = 0

7x(x + 4) – 3(x + 4) = 0

(x + 4)(7x – 3) = 0

x + 4 = 0 hoặc 7x – 3 = 0

x = –4 hoặc $x=\frac{3}{7}.$ 

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = –4 và $x=\frac{3}{7}.$ 

c) x² – 2x – (5x – 10) = 0

x(x – 2) – 5(x – 2) = 0

(x – 2)(x – 5) = 0

x – 2 = 0 hoặc x – 5 = 0

x = 2 hoặc x = 5.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 2 hoặc x = 5.

d) (5x – 2)² – (x + 8)² = 0

(5x – 2 + x + 8)(5x – 2 – x – 8) = 0

(6x + 6)(4x – 10) = 0

6x + 6 = 0 hoặc 4x – 10 = 0

x = –1 hoặc $x=\frac{5}{2}.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = –1 hoặc $x=\frac{5}{2}.$