Tìm hàm số y = f(x), biết f'(x) = \(3\sqrt x + \frac{2}{{\sqrt[3]{x}}}\) (x > 0) và f(1) = 1.

Độ cao h(t) của viên đạn tại điểm t là:

h(t) = \(\int {\left( {150 - 9,8t} \right)dt} \) = 150t – 9,8\(\frac{{{t^2}}}{2}\)+ C = 150t – 4,9t² + C.

Thay t = 0 ta được h(0) = C = 0.

Vậy h(t) = 150t – 4,9t² (m).

a) Sau t = 3 giây, độ cao của viên đạn là:

h = h(3) = 150.3 – 4,9.3² = 405,9 (m).

b) Ta có: h(t) = 150t – 4,9t² (m).

               h'(t) = v(t) = 150 – 9,8t

               h'(t) = 0 ⇔ t = \(\frac{{150}}{{9,8}}\).

Ta có bảng xét dấu như sau:

Khi đó, viên đạn đạt độ cao lớn nhất tại thời điểm t_max = \(\frac{{150}}{{9,8}}\).

Như vậy h_max = 150t_max – 4,9\(t_{\max }^2\)≈ 1148,0 (m).

a) \(\int {\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{{x^4}}}dx} \) = \(\int {\frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{{x^4}}}dx} \)

                          = \(\int {\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{2}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{x^4}}}} \right)dx} \)

                          = \(\int {\frac{1}{{{x^2}}}dx + \int {\frac{2}{{{x^3}}}dx + \int {\frac{1}{{{x^4}}}dx} } } \)

                          = \( - \frac{1}{x}\) + 4.\(\frac{{{x^{ - 2}}}}{{ - 2}}\) + 4.\(\frac{{{x^{ - 3}}}}{{ - 3}}\) + C

                          = \( - \frac{1}{x}\) − \(\frac{2}{{{x^2}}}\) − \(\frac{4}{{3{x^3}}}\) + C.

b) \(\int {\sqrt x \left( {7{x^2} + 6} \right)dx} \) = \(\int {\left( {7{x^2}\sqrt x + 6\sqrt x } \right)} dx\)

                                 = \(\int {7{x^2}\sqrt x dx + \int {6\sqrt x } } dx\)

                                 = \(7\int {{x^{\frac{5}{2}}}} dx + 6\int {{x^{\frac{1}{2}}}dx} \)

                                 = 2\({x^{\frac{7}{2}}} + 4{x^{\frac{3}{2}}}\) + C

                                 = 2x³\(\sqrt x \) + 4x\(\sqrt x \) + C.