Câu hỏi:

21/08/2024 927

Cho F(u) là một nguyên hàm của hàm số f(u) trên khoảng K và u(x), x J, là hàm số có đạo hàm liên tục, u(x) K với mọi x J. Tìm \(\int {f\left( {u(x)} \right).u'(x)dx} \).

Áp dụng: Tìm \(\int {{{\left( {2x + 1} \right)}^5}dx} \)\(\int {\frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}dx} \).

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Ta có: F'(u) = f(u), với mọi u K.

\({\left[ {F\left( {u\left( x \right)} \right)} \right]^\prime }\) = \(F'\left( {u\left( x \right)} \right)\).u'(x) = \(f\left( {u\left( x \right)} \right).u'\left( x \right)\), với mọi x J.

Do đó, \(\int {f\left( {u(x)} \right).u'(x)dx} \) = \(F\left( {u\left( x \right)} \right)\) + C.

Áp dụng:

\(\int {{{\left( {2x + 1} \right)}^5}dx} \) = \({\int {\left( {2x + 1} \right)} ^5}\frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^\prime }}}{2}dx\)

                      = \(\frac{1}{2}\int {{{\left( {2x + 1} \right)}^5}{{\left( {2x + 1} \right)}^\prime }dx} \)

                      = \(\frac{1}{2}.\frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^6}}}{6} + C\)

                      = \(\frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^6}}}{{12}} + C\).

 \(\int {\frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}dx} \) = \(\int {\frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}.\frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^\prime }}}{2}dx} \)

                       = \(\int {\frac{1}{{2\sqrt {2x + 1} }}.{{\left( {2x + 1} \right)}^\prime }dx} \)

                       = \(\sqrt {2x + 1} + C.\)        

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Độ cao h(t) của viên đạn tại điểm t là:

h(t) = \(\int {\left( {150 - 9,8t} \right)dt} \) = 150t – 9,8\(\frac{{{t^2}}}{2}\)+ C = 150t – 4,9t2 + C.

Thay t = 0 ta được h(0) = C = 0.

Vậy h(t) = 150t – 4,9t2 (m).

a) Sau t = 3 giây, độ cao của viên đạn là:

h = h(3) = 150.3 – 4,9.32 = 405,9 (m).

b) Ta có: h(t) = 150t – 4,9t2 (m).

               h'(t) = v(t) = 150 – 9,8t

               h'(t) = 0 t = \(\frac{{150}}{{9,8}}\).

Ta có bảng xét dấu như sau:

Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc tại thời điểm t (t = 0 là thời điểm viên đạn được bắn lên) cho bởi v(t) = 150 – 9,8t (m/s). Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất): a) Sau t = 3 giây; b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất của mét). (ảnh 1)

Khi đó, viên đạn đạt độ cao lớn nhất tại thời điểm tmax = \(\frac{{150}}{{9,8}}\).

Như vậy hmax = 150tmax – 4,9\(t_{\max }^2\)≈ 1148,0 (m).

Câu 2

Tìm hàm số y = f(x), biết f'(x) = \(3\sqrt x + \frac{2}{{\sqrt[3]{x}}}\) (x > 0) và f(1) = 1.

Lời giải

Ta có: f(x) = \(\int {f'\left( x \right)dx} \)

                  = \(\int {\left( {3\sqrt x + \frac{2}{{\sqrt[3]{x}}}} \right)} dx\)

                  = \(\int {3\sqrt x dx + \int {\frac{2}{{\sqrt[3]{x}}}} } dx\)

                  = 2x\(\sqrt x \) + 3\(\sqrt[3]{{{x^2}}}\) + C.

Mà f(1) = 1 nên 2 + 3 + C = 1 hay C = −4.

Vậy f(x) = 2x\(\sqrt x \) + 3\(\sqrt[3]{{{x^2}}}\) − 4.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP