Tìm

a) \(\int {\left( {x + {{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right)dx} \);

b) \(\int {{{\left( {2\tan x + \cot x} \right)}^2}dx} \).

Độ cao h(t) của viên đạn tại điểm t là:

h(t) = \(\int {\left( {150 - 9,8t} \right)dt} \) = 150t – 9,8\(\frac{{{t^2}}}{2}\)+ C = 150t – 4,9t² + C.

Thay t = 0 ta được h(0) = C = 0.

Vậy h(t) = 150t – 4,9t² (m).

a) Sau t = 3 giây, độ cao của viên đạn là:

h = h(3) = 150.3 – 4,9.3² = 405,9 (m).

b) Ta có: h(t) = 150t – 4,9t² (m).

               h'(t) = v(t) = 150 – 9,8t

               h'(t) = 0 ⇔ t = \(\frac{{150}}{{9,8}}\).

Ta có bảng xét dấu như sau:

Khi đó, viên đạn đạt độ cao lớn nhất tại thời điểm t_max = \(\frac{{150}}{{9,8}}\).

Như vậy h_max = 150t_max – 4,9\(t_{\max }^2\)≈ 1148,0 (m).

Ta có: f(x) = \(\int {f'\left( x \right)dx} \)

                  = \(\int {\left( {3\sqrt x + \frac{2}{{\sqrt[3]{x}}}} \right)} dx\)

                  = \(\int {3\sqrt x dx + \int {\frac{2}{{\sqrt[3]{x}}}} } dx\)

                  = 2x\(\sqrt x \) + 3\(\sqrt[3]{{{x^2}}}\) + C.

Mà f(1) = 1 nên 2 + 3 + C = 1 hay C = −4.

Vậy f(x) = 2x\(\sqrt x \) + 3\(\sqrt[3]{{{x^2}}}\) − 4.