Cho hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\) có đồ thị (C).

Tính tích khoảng cách từ một điểm tùy ý thuộc (C) đến hai đường tiệm cận của nó.

a) \(y = \frac{{{x^2} - x - 5}}{{x - 2}};\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} - x - 5}}{{x - 2}} = - \infty \);

           \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} - x - 5}}{{x - 2}} = + \infty \).

Do đó, đường thẳng x = 2 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

            \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{y}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - x - 5}}{{\left( {x - 2} \right)x}} = 1\).

            \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{{x^2} - x - 5}}{{x - 2}} - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 5}}{{x - 2}} = 1\).

Do đó đường thẳng y = x + 1 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

b) y = \(\frac{{3{x^2} + 8x - 2}}{{x + 3}}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} \frac{{3{x^2} + 8x - 2}}{{x + 3}} = + \infty \);

           \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} \frac{{3{x^2} + 8x - 2}}{{x + 3}} = - \infty \)

Do đó đường thẳng x = −3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

            \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{y}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3{x^2} + 8x - 2}}{{\left( {x + 3} \right)x}} = 3\).

            \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - 3x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{3{x^2} + 8x - 2}}{{x + 3}} - 3x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - x - 2}}{{x - 2}} = - 1\).

Do đó đường thẳng y = 3x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x)\) = 1 và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x)\) = −1.

Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x)\) = \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{2 + f(x)}}\) = \(\frac{1}{3}\)

          \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g(x)\) = \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{2 + f(x)}}\) = −1

Do đó, đường thẳng y = −1 và y = \(\frac{1}{3}\) là hai đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số g(x).