Cho hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\) có đồ thị (C).

Tính tích khoảng cách từ một điểm tùy ý thuộc (C) đến hai đường tiệm cận của nó.

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = 1\);

           \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = 1\).

Do đó, đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

          \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = + \infty \);

           \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = - \infty \).

Do đó đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1 và tiệm cận ngang

y = 1.

Lấy M(x₀; y₀) ∈ (C) với \({y_0} = \frac{{{x_0} + 1}}{{{x_0} - 1}}\).

Ta có: khoảng cách từ M đến đường tiệm cận đứng là d₁ = | x₀ – 1|, khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang là d₂ = \(\left| {\frac{{{x_0} + 1}}{{{x_0} - 1}} - 1} \right| = \frac{2}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}}\).

Vậy tích khoảng cách là:d₁d₂ = \(\left| {{x_0}--1} \right|\). \(\frac{2}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}}\) = 2.