Cho hàm số \(y = f(x) = \frac{{x + 2}}{{x - 3}}\) có đồ thị (C). Gọi tổng khoảng cách từ một điểm (x; y) ∈ (C), với x > 3, tới hai đường tiệm cận của (C) là g(x). Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = g(x).

Đồ thị hàm số f(x) có đường tiệm cận đứng là đường thẳng x = 3 và đường tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1.

Khoảng cách từ điểm M(x; y) ∈ (C), x > 3 đến tiệm cận đứng là d₁ = x – 3.

Khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận ngang là d₂ = \(\frac{{x + 2}}{{x - 3}} - 1 = \frac{5}{{x - 3}}\).

Vậy g(x) = d₁ + d₂ = x – 3 + \(\frac{5}{{x - 3}}\).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {x--3 + \frac{5}{{x - 3}}\;} \right] = - \infty .\);

           \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {x--3 + \frac{5}{{x - 3}}\;} \right] = + \infty .\)

Do đó đồ thị hàm số g(x) không có tiệm cận ngang

           \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left[ {x--3 + \frac{5}{{x - 3}}\;} \right] = - \infty .\);

           \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left[ {x--3 + \frac{5}{{x - 3}}\;} \right] = + \infty .\)

Do đó, đường thẳng x = 3 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

           \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {g\left( x \right) - (x - 3)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {x--3 + \frac{5}{{x - 3}} - (x - 3)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{5}{{x - 3}} = 0.\)

Do đó đường thẳng y = x – 3 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.