Cho hàm số \(y = f(x) = \frac{{x + 2}}{{x - 3}}\) có đồ thị (C). Gọi tổng khoảng cách từ một điểm (x; y) ∈ (C), với x > 3, tới hai đường tiệm cận của (C) là g(x). Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = g(x).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = 1\);

           \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = 1\).

Do đó, đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

          \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = + \infty \);

           \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = - \infty \).

Do đó đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1 và tiệm cận ngang

y = 1.

Lấy M(x₀; y₀) ∈ (C) với \({y_0} = \frac{{{x_0} + 1}}{{{x_0} - 1}}\).

Ta có: khoảng cách từ M đến đường tiệm cận đứng là d₁ = | x₀ – 1|, khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang là d₂ = \(\left| {\frac{{{x_0} + 1}}{{{x_0} - 1}} - 1} \right| = \frac{2}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}}\).

Vậy tích khoảng cách là:d₁d₂ = \(\left| {{x_0}--1} \right|\). \(\frac{2}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}}\) = 2.

a) \(y = \frac{{{x^2} - x - 5}}{{x - 2}};\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} - x - 5}}{{x - 2}} = - \infty \);

           \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} - x - 5}}{{x - 2}} = + \infty \).

Do đó, đường thẳng x = 2 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

            \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{y}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - x - 5}}{{\left( {x - 2} \right)x}} = 1\).

            \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{{x^2} - x - 5}}{{x - 2}} - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 5}}{{x - 2}} = 1\).

Do đó đường thẳng y = x + 1 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

b) y = \(\frac{{3{x^2} + 8x - 2}}{{x + 3}}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} \frac{{3{x^2} + 8x - 2}}{{x + 3}} = + \infty \);

           \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} \frac{{3{x^2} + 8x - 2}}{{x + 3}} = - \infty \)

Do đó đường thẳng x = −3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

            \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{y}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3{x^2} + 8x - 2}}{{\left( {x + 3} \right)x}} = 3\).

            \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - 3x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{3{x^2} + 8x - 2}}{{x + 3}} - 3x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - x - 2}}{{x - 2}} = - 1\).

Do đó đường thẳng y = 3x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.