Câu hỏi:
22/08/2024 239Chứng tỏ rằng một thùng hình trụ có thể tích V cố định cần ít vật liệu sản xuất nhất (tức là có diện tích về mặt nhỏ nhất) khi chiều cao của thùng gấp đôi bán kính đáy.
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).
Quảng cáo
Trả lời:
Gọi bán kính đáy của thùng hình trụ là r. Suy ra, chiều cao của thùng hình trụ là \(\frac{V}{{\pi {r^2}}}\).
Diện tích bề mặt của thùng hình trụ là S = 2πr2 + \(\frac{{2\pi rV}}{{\pi {r^2}}}\) = 2πr2 + \(\frac{{2V}}{r}\), r > 0.
Ta có: S' = 2πr2 – \(\frac{{2V}}{{{r^2}}}\) = \(\frac{{4\pi {r^3} - 2V}}{{{r^2}}}\)
S' = 0 ⇔ r = \(\sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\).
Bảng biến thiên của hàm số:
Từ bảng biến thiên: S đạt giá trị nhỏ nhất khi r = \(\sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\), khi đó chiều cao của hình trụ là
2.\(\sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\) = 2r.
Đây là điều cần chứng minh.
Đã bán 152
Đã bán 114
Đã bán 132
Đã bán 47
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Bác Hưng có một hàng rào thép dài 240 m và muốn rào cánh đồng thành một thửa ruộng hình chữ nhật giáp một con sông thẳng. Bác không cần rào phía cạnh con sông. Hỏi thửa ruộng có diện tích lớn nhất là bao nhiêu?
Câu 2:
Một chiếc hộp dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông và có thể tích là 2 000 cm3. Các kích thước của chiếc hộp là bao nhiêu nếu muốn lượng vật liệu dùng để sản xuất chiếc hộp là nhỏ nhất?
Câu 3:
Một công ty ước tính rằng chi phí C (USD) để sản xuất x đơn vị sản phẩm có thể được mô hình hóa bằng công thức
C = 800 + 0,04x + 0,0002x2.
Tìm mức sản xuất sao cho chi phí trung bình \(\overline C (x) = \frac{{C(x)}}{x}\) cho mỗi đơn vị hàng hóa là nhỏ nhất.
Câu 4:
Doanh số bán hệ thống âm thanh nổi mới trong một khoảng thời gian dự kiến sẽ tuân theo đường cong logistic R = R(x) = \(\frac{{5000}}{{1 + 5{e^{ - x}}}}\), x ≥ 0, trong đó thời gian x được tính bằng năm. Hỏi tốc độ bán hàng đạt tối đa vào năm nào?
Câu 5:
Một hòn đảo nhỏ cách điểm P trên bờ biển khoảng 3 km, một thị trấn ở điểm A cách điểm P 12 km (xem hình vẽ). Nếu một người trên đảo chèo thuyền với vận tốc 2,5 km/h và đi bộ với vận tốc 4 km/h thì thuyền nên neo đậu ở vị trí nào để đoạn PA để người đó đến thị trấn trong thời gian ngắn nhất?
Câu 6:
Doanh thu R (USD) từ việc cho thuê x căn hộ có thể được mô hình hóa bằng hàm số
R = 2x(900 + 32x – x2).
a) Tìm hàm doanh thu biên.
b) Tìm doanh thu biên khi x = 14 và giải thích ý nghĩa thực tiễn của nó.
c) Tìm lượng doanh thu tăng thêm khi số căn hộ cho thuê tăng từ 14 lên 15.
Câu 7:
a) Chứng tỏ rằng nếu lợi nhuận P(x) là cực đại thì doanh thu biên bằng chi phí biên.
b) Cho C(x) = 16 000 + 500x – 1,6x2 + 0,004x3 là hàm chi phí và p(x) = 1 700 – 7x là hàm cầu. Hãy tìm mức sản xuất sẽ tối đa hóa lợi nhuận.
về câu hỏi!