Một chiếc cổng hình parabol khi đưa vào hệ trục toạ độ Oxy có dạng một phần của parabol \(y =  - \frac{1}{8}{x^2},\) với gốc tọa độ O là vị trí cao nhất của cổng so với mặt đất, x và y được tính theo đơn vị mét, chiều cao OK của cổng là 4,5 m như mô tả ở Hình 5 (K là trung điểm của đoạn AB). Tìm khoảng cách giữa hai chân cổng A và B ở trên mặt đất.

Nước từ một vòi nước (đặt trên mặt nước) được phun lên cao sẽ đạt đến một độ cao nào đó rồi rơi xuống (Hình 4). Giả sử nước được phun ra bắt đầu từ vị trí A trên mặt nước và rơi trở lại mặt nước ở vị trí B, đường đi của nước có dạng một phần của parabol \(y =  - \frac{1}{4}{x^2}\) trong hệ trục toạ độ Oxy, với gốc tọa độ O là vị trí cao nhất mà nước được phun ra đạt được so với mặt nước, trục Ox song song với AB, x và y được tính theo đơn vị mét. Tính chiều cao h từ điểm O đến mặt nước, biết khoảng cách giữa điểm A và điểm B là 6 m.

Một viên bi lăn trên mặt phẳng nghiêng. Đoạn đường đi được liên hệ với thời gian bởi hàm số y = at² (t tính bằng giây, y tính bằng mét). Người ta đo được quãng đường viên bi lăn được ở thời điểm 3 giây là 2,25 m. Hỏi khi viên bi lăn được quãng đường 6,25 m thì nó đã lăn trong bao lâu?

a) Vẽ đồ thị các hàm số \(y = - \frac{3}{2}{x^2}\) và \(y = \frac{3}{2}{x^2}\) trên cùng một mặt phẳng toạ độ Oxy.

b) Qua đồ thị của các hàm số đó, hãy cho biết khi x tăng từ 0,5 đến 2 thì giá trị lớn nhất của hàm số \(y = - \frac{3}{2}{x^2}\) và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{3}{2}{x^2}\) là bao nhiêu?

Cho hàm số y = kx² (k ≠ 0) có đồ thị là một parabol với đỉnh O như Hình 3.

a) Tìm giá trị của k.

b) Tìm tung độ của điểm thuộc parabol có hoành độ bằng 2.

c) Tìm các điểm thuộc parabol có tung độ bằng 2.

d*) Tìm các điểm (không phải điểm O) thuộc parabol sao cho khoảng cách từ điểm đó đến trục hoành gấp ba lần khoảng cách từ điểm đó đến trục tung.

Cho A là giao điểm của hai đường thẳng y = x – 1 và y = –2x + 8. Chứng minh rằng điểm A thuộc đồ thị hàm số \(y = \frac{2}{9}{x^2}.\)

a) Điểm A(–0,2; 1) thuộc đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau: y = 10x²; y = –10x²; y = 25x²; y = –25x²; \(y = \frac{1}{{25}}{x^2};\) \(y = \frac{{ - 1}}{{25}}{x^2}?\)

b) Trong các điểm \(B\left( { - 2;4\sqrt 3 } \right),\) \(C\left( { - 2; - 4\sqrt 3 } \right),\) \(D\left( { - 0,2; - 0,4\sqrt 3 } \right),\) \(E\left( {0,4\sqrt 3 ;0,2} \right),\) điểm nào thuộc đồ thị hàm số \(y = - \sqrt 3 {x^2}?\)