Câu hỏi:
25/08/2024 155
Cho phương trình \({x^2} + x - 2 + \sqrt 2 = 0.\)
a) Chứng tỏ rằng phương trình có hai nghiệm x1, x2 trái dấu.
b) Không giải phương trình, tính:
\[A = x_1^2 + x_2^2;\,\,B = x_1^3 + x_2^3;\] \(C = \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}};\) D = |x1 – x2|.
Cho phương trình \({x^2} + x - 2 + \sqrt 2 = 0.\)
a) Chứng tỏ rằng phương trình có hai nghiệm x1, x2 trái dấu.
b) Không giải phương trình, tính:
\[A = x_1^2 + x_2^2;\,\,B = x_1^3 + x_2^3;\] \(C = \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}};\) D = |x1 – x2|.
Câu hỏi trong đề:
Giải SBT Toán 9 Cánh diều Bài 3. Định lí Viète có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Phương trình \({x^2} + x - 2 + \sqrt 2 = 0\) có \(\Delta = {1^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( { - 2 + \sqrt 2 } \right) = 9 - 4\sqrt 2 > 0.\)
Do đó phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.
Theo định lí Viète, ta có \({x_1}{x_2} = - 2 + \sqrt 2 .\)
Ta thấy tích của hai nghiệm là \( - 2 + \sqrt 2 < 0.\)
Do đó phương trình có hai nghiệm x1, x2 trái dấu.
b) Theo định lí Viète, ta có \({x_1} + {x_2} = - 1;\,\,{x_1}{x_2} = - 2 + \sqrt 2 .\) Khi đó:
⦁ \[A = x_1^2 + x_2^2 = x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} - 2{x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {\rm{ }}{x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\]
\[ = {\left( { - 1} \right)^2} - 2\left( { - 2 + \sqrt 2 } \right) = 1 + 4 - 2\sqrt 2 = 5 - 2\sqrt 2 .\]
⦁ \[B = x_1^3 + x_2^3 = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2} \right)\]
\[ = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} - 3{x_1}{x_2}} \right)\]
\[ = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right]\]
\[ = - 1 \cdot \left[ {{{\left( { - 1} \right)}^2} - 3\left( { - 2 + \sqrt 2 } \right)} \right]\]
\[ = - \left( {1 + 6 - 3\sqrt 2 } \right)\]\[ = - 7 + 3\sqrt 2 .\]
⦁ \[C = \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1} \cdot {x_2}}} = \frac{{ - 1}}{{ - 2 + \sqrt 2 }} = \frac{1}{{2 - \sqrt 2 }}\]
\[ = \frac{1}{{2 - \sqrt 2 }} = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}}\]
\[ = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{{4 - 2}} = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{2} = 1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\]
⦁ D = |x1 – x2|
\[{D^2} = {\left| {{x_1} - {x_2}} \right|^2} = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = x_1^2 - 2{x_1}{x_2} + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2}\]
\( = 1 - 4 \cdot \left( { - 2 + \sqrt 2 } \right) = 1 + 8 - 4\sqrt 2 \)
\( = 9 - 4\sqrt 2 = {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} - 2 \cdot 2\sqrt 2 \cdot 1 + {1^2} = {\left( {2\sqrt 2 - 1} \right)^2}.\)
Do đó \(D = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 2 - 1} \right)}^2}} = \left| {2\sqrt 2 - 1} \right| = 2\sqrt 2 - 1.\)
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Một bác thợ cắt vừa đủ một cây sắt thành các đoạn để hàn lại thành khung của một hình lập phương có cạnh là x (m) và một hình hộp chữ nhật có chiều rộng bằng chiều cao là y (m), chiều dài gấp 5 lần chiều rộng. Tìm độ dài cây sắt, biết x < y, x + y = 0,5 và xy = 0,06.
Một bác thợ cắt vừa đủ một cây sắt thành các đoạn để hàn lại thành khung của một hình lập phương có cạnh là x (m) và một hình hộp chữ nhật có chiều rộng bằng chiều cao là y (m), chiều dài gấp 5 lần chiều rộng. Tìm độ dài cây sắt, biết x < y, x + y = 0,5 và xy = 0,06.
Xem đáp án »
25/08/2024
398
Câu 2:
Cho phương trình x2 + 2(k + 1)x + k2 + 2k = 0.
a) Tìm các giá trị k để phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2 và |x1|.|x2| = 1.
b*) Tìm các giá trị k (k < 0) để phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2 trái dấu và nghiệm dương nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm.
Cho phương trình x2 + 2(k + 1)x + k2 + 2k = 0.
a) Tìm các giá trị k để phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2 và |x1|.|x2| = 1.
b*) Tìm các giá trị k (k < 0) để phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2 trái dấu và nghiệm dương nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm.
Xem đáp án »
25/08/2024
391
Câu 3:
Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều rộng x (m), chiều dài gấp rưỡi chiều rộng. Người ta đã làm một vườn hoa ở trung tâm mảnh đất với diện tích bằng 640 m2 và làm một con đường rộng 2 m xung quanh vườn hoa đó (Hình 10). Hỏi chu vi của mảnh đất đó bằng bao nhiêu mét?
Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều rộng x (m), chiều dài gấp rưỡi chiều rộng. Người ta đã làm một vườn hoa ở trung tâm mảnh đất với diện tích bằng 640 m2 và làm một con đường rộng 2 m xung quanh vườn hoa đó (Hình 10). Hỏi chu vi của mảnh đất đó bằng bao nhiêu mét?
Xem đáp án »
25/08/2024
329
Câu 4:
Cho phương trình x2 + 2(2m + 1)x – 4m2 – 1 = 0.
a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2 với mọi giá trị của m.
b) Tìm biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào giá trị của m.
Cho phương trình x2 + 2(2m + 1)x – 4m2 – 1 = 0.
a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2 với mọi giá trị của m.
b) Tìm biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào giá trị của m.
Xem đáp án »
25/08/2024
178
Câu 5:
Cho các số x, y, z khác 0 thỏa mãn x + y + z = 5 và xy + yz + xz = 8.
Chứng tỏ rằng: \(1 \le x \le \frac{7}{3};\,\,1 \le y \le \frac{7}{3};\,\,1 \le z \le \frac{7}{3}.\)
Cho các số x, y, z khác 0 thỏa mãn x + y + z = 5 và xy + yz + xz = 8.
Chứng tỏ rằng: \(1 \le x \le \frac{7}{3};\,\,1 \le y \le \frac{7}{3};\,\,1 \le z \le \frac{7}{3}.\)
Xem đáp án »
25/08/2024
162
Câu 6:
Tìm các số x, y với x < y thoả mãn:
a) x + y = 16 và xy = 15;
b) x + y = 2 và xy = –2.
Tìm các số x, y với x < y thoả mãn:
a) x + y = 16 và xy = 15;
b) x + y = 2 và xy = –2.
Xem đáp án »
25/08/2024
136
về câu hỏi!