Câu hỏi:
25/08/2024 27Cho phương trình \({x^2} + x - 2 + \sqrt 2 = 0.\)
a) Chứng tỏ rằng phương trình có hai nghiệm x1, x2 trái dấu.
b) Không giải phương trình, tính:
\[A = x_1^2 + x_2^2;\,\,B = x_1^3 + x_2^3;\] \(C = \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}};\) D = |x1 – x2|.
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).
Quảng cáo
Trả lời:
a) Phương trình \({x^2} + x - 2 + \sqrt 2 = 0\) có \(\Delta = {1^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( { - 2 + \sqrt 2 } \right) = 9 - 4\sqrt 2 > 0.\)
Do đó phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.
Theo định lí Viète, ta có \({x_1}{x_2} = - 2 + \sqrt 2 .\)
Ta thấy tích của hai nghiệm là \( - 2 + \sqrt 2 < 0.\)
Do đó phương trình có hai nghiệm x1, x2 trái dấu.
b) Theo định lí Viète, ta có \({x_1} + {x_2} = - 1;\,\,{x_1}{x_2} = - 2 + \sqrt 2 .\) Khi đó:
⦁ \[A = x_1^2 + x_2^2 = x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} - 2{x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {\rm{ }}{x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\]
\[ = {\left( { - 1} \right)^2} - 2\left( { - 2 + \sqrt 2 } \right) = 1 + 4 - 2\sqrt 2 = 5 - 2\sqrt 2 .\]
⦁ \[B = x_1^3 + x_2^3 = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2} \right)\]
\[ = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} - 3{x_1}{x_2}} \right)\]
\[ = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right]\]
\[ = - 1 \cdot \left[ {{{\left( { - 1} \right)}^2} - 3\left( { - 2 + \sqrt 2 } \right)} \right]\]
\[ = - \left( {1 + 6 - 3\sqrt 2 } \right)\]\[ = - 7 + 3\sqrt 2 .\]
⦁ \[C = \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1} \cdot {x_2}}} = \frac{{ - 1}}{{ - 2 + \sqrt 2 }} = \frac{1}{{2 - \sqrt 2 }}\]
\[ = \frac{1}{{2 - \sqrt 2 }} = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}}\]
\[ = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{{4 - 2}} = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{2} = 1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\]
⦁ D = |x1 – x2|
\[{D^2} = {\left| {{x_1} - {x_2}} \right|^2} = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = x_1^2 - 2{x_1}{x_2} + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2}\]
\( = 1 - 4 \cdot \left( { - 2 + \sqrt 2 } \right) = 1 + 8 - 4\sqrt 2 \)
\( = 9 - 4\sqrt 2 = {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} - 2 \cdot 2\sqrt 2 \cdot 1 + {1^2} = {\left( {2\sqrt 2 - 1} \right)^2}.\)
Do đó \(D = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 2 - 1} \right)}^2}} = \left| {2\sqrt 2 - 1} \right| = 2\sqrt 2 - 1.\)
Đã bán 152
Đã bán 114
Đã bán 132
Đã bán 47
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều rộng x (m), chiều dài gấp rưỡi chiều rộng. Người ta đã làm một vườn hoa ở trung tâm mảnh đất với diện tích bằng 640 m2 và làm một con đường rộng 2 m xung quanh vườn hoa đó (Hình 10). Hỏi chu vi của mảnh đất đó bằng bao nhiêu mét?
Câu 2:
Cho phương trình x2 + 2(2m + 1)x – 4m2 – 1 = 0.
a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2 với mọi giá trị của m.
b) Tìm biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào giá trị của m.
Câu 3:
Một bác thợ cắt vừa đủ một cây sắt thành các đoạn để hàn lại thành khung của một hình lập phương có cạnh là x (m) và một hình hộp chữ nhật có chiều rộng bằng chiều cao là y (m), chiều dài gấp 5 lần chiều rộng. Tìm độ dài cây sắt, biết x < y, x + y = 0,5 và xy = 0,06.
Câu 4:
Cho các số x, y, z khác 0 thỏa mãn x + y + z = 5 và xy + yz + xz = 8.
Chứng tỏ rằng: \(1 \le x \le \frac{7}{3};\,\,1 \le y \le \frac{7}{3};\,\,1 \le z \le \frac{7}{3}.\)
Câu 5:
a) Cho phương trình –x2 + 5kx + 4 = 0. Tìm các giá trị k để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện
b) Cho phương trình kx2 – 6(k – 1)x + 9(k – 3) = 0 (k ≠ 0). Tìm các giá trị k để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 + x2 – x1x2 = 0.
Câu 6:
Tìm các số x, y với x < y thoả mãn:
a) x + y = 16 và xy = 15;
b) x + y = 2 và xy = –2.
Câu 7:
Cho phương trình x2 + (2m – 1)x – m = 0.
a) Tìm các giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm các giá trị m để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.
về câu hỏi!