Câu hỏi:

25/08/2024 2,323

a) Cho phương trình –x2 + 5kx + 4 = 0. Tìm các giá trị k để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện

b) Cho phương trình kx2 6(k 1)x + 9(k 3) = 0 (k  ≠ 0). Tìm các giá trị k để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 + x2 x1x2 = 0.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

a) Phương trình ∆ = (5k)2 ‒ 4.(‒1).4 = 25k2 + 16.

Do k2 ≥ 0 nên 25k2 + 16 > 0.

Do đó phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lí Viète ta có: x1 + x2 = 5k; x1x2 = ‒4.

Theo bài, \[x_1^2 + x_2^2 + 6{x_1}{x_2} = 9\]

\[x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} + 4{x_1}{x_2} = 9\]

\[{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 4{x_1}{x_2} = 9\]

Thay x1 + x2 = 5k x1x2 = ‒4 vào đẳng thức trên ta được:

(5k)2 + 4.(‒4) = 9

25k2 ‒16 = 9

k2 = 1

k = 1 hoặc k = ‒1.

Vậy k {‒1; 1}.

b) Nếu k  ≠ 0, thì phương trình đã cho là phương trình bậc hai, có

= [‒3(k ‒ 1)]2 ‒ k.9(k ‒ 3)

= (‒3k + 3)29k2 + 27k

= 9k218k + 99k2 + 27k

= 9k + 9.

Để phương trình có hai nghiệm thì ∆ ≥ 0, tức là 9k + 9 ≥ 0 hay k ≥ ‒1.

Theo định lí Viète ta có: \[{x_1} + {x_2} = \frac{{6\left( {k - 1} \right)}}{k};\,\,{x_1}{x_2} = \frac{{9\left( {k - 3} \right)}}{k}.\]

Thay \[{x_1} + {x_2} = \frac{{6\left( {k - 1} \right)}}{k}\]\[{x_1}{x_2} = \frac{{9\left( {k - 3} \right)}}{k}\] vào đẳng thức x1 + x2 x1 x2 = 0 ta có:

\[\frac{{6\left( {k - 1} \right)}}{k} - \frac{{9\left( {k - 3} \right)}}{k} = 0\]

\[\frac{{6\left( {k - 1} \right) - 9\left( {k - 3} \right)}}{k} = 0\]

6k ‒ 6 ‒ 9k + 27 = 0

‒3k = ‒21

    k = 7 (thỏa mãn điều kiện k ≥ ‒1 và k ≠ 0).

Vậy k = 7.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

a) Phương trình đã cho có:

∆ = 4(2m + 1)2 ‒ 4.(‒4m2 ‒ 1) = 4(2m + 1)2 + 16m2 + 4.

Với mọi m, ta có: (2m + 1)2 ≥ 0 16m2 ≥ 0

Suy ra 4(2m + 1)2 + 16m2 + 4 > 0 với mọi m hay > 0 với mọi m.

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m.

b) Theo định lí Vte ta có:

x1 + x2 = ‒2(2m + 1) = ‒ 4m ‒ 2 x1x2 = ‒4m2 ‒1.

Từ x1 + x2 = 4m ‒ 2 ta có 4m = x1 + x2 + 2 nên \[m = \frac{{{x_1} + {x_2} + 2}}{{ - 4}}.\]

Suy ra \[{m^2} = {\left( {\frac{{{x_1} + {x_2} + 2}}{{ - 4}}} \right)^2}\]

Từ x1x2 = ‒4m2 ‒1, suy ra ‒4m2 = x1x2 + 1, suy ra \[{m^2} = \frac{{{x_1}{x_2} + 1}}{{ - 4}}.\]

Khi đó, ta có: \[{\left( {\frac{{{x_1} + {x_2} + 2}}{{ - 4}}} \right)^2} = \frac{{{x_1}{x_2} + 1}}{{ - 4}}\]

\[\frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2} + 2} \right)}^2}}}{{{{\left( { - 4} \right)}^2}}} = \frac{{{x_1}{x_2} + 1}}{{ - 4}}\]

\[\frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2} + 2} \right)}^2}}}{{ - 4}} = {x_1}{x_2} + 1\]

(x1 + x2 + 2)2 + 4x1x2 + 4 = 0.

Vậy biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào giá trị của m là:

(x1 + x2 + 2)2 + 4x1x2 + 4 = 0.

Lời giải

a) Phương trình đã cho có:

= (2m 1)2 4.(–m) = 4m2 – 4m + 1 + 4m = 4m2 + 1 > 0 với mọi giá trị của m.

Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b) Theo định lí Viète, ta có: x1 + x2 = –(2m 1) và x1x2 = –m.

Ta có: \(A = x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2}\)

\( = {\left[ { - \left( {2m - 1} \right)} \right]^2} - 3\left( { - m} \right) = 4{m^2} - 4m + 1 + 3m\)

\( = 4{m^2} - m + 1 = \left( {4{m^2} - 2 \cdot 2m \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{{16}}} \right) + 1 - \frac{1}{{16}}\)

\( = {\left( {2m - \frac{1}{4}} \right)^2} + \frac{{15}}{{16}}.\)

Với mọi m, ta có: \[{\left( {2m - \frac{1}{4}} \right)^2} \ge 0\] nên \[{\left( {2m - \frac{1}{4}} \right)^2} + \frac{{15}}{{16}} \ge \frac{{15}}{{16}}\] hay \(A \ge \frac{{15}}{{16}}.\)

Vậy biểu thức \[A = x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2}\] đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{{15}}{{16}}\) khi \[2m - \frac{1}{4} = 0\] hay \(m = \frac{1}{8}.\)