Câu hỏi:
25/08/2024 2,295
a) Cho phương trình –x2 + 5kx + 4 = 0. Tìm các giá trị k để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện
b) Cho phương trình kx2 – 6(k – 1)x + 9(k – 3) = 0 (k ≠ 0). Tìm các giá trị k để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 + x2 – x1x2 = 0.
a) Cho phương trình –x2 + 5kx + 4 = 0. Tìm các giá trị k để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện
b) Cho phương trình kx2 – 6(k – 1)x + 9(k – 3) = 0 (k ≠ 0). Tìm các giá trị k để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 + x2 – x1x2 = 0.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Phương trình có ∆ = (5k)2 ‒ 4.(‒1).4 = 25k2 + 16.
Do k2 ≥ 0 nên 25k2 + 16 > 0.
Do đó phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.
Theo định lí Viète ta có: x1 + x2 = 5k; x1x2 = ‒4.
Theo bài, \[x_1^2 + x_2^2 + 6{x_1}{x_2} = 9\]
\[x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} + 4{x_1}{x_2} = 9\]
\[{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 4{x_1}{x_2} = 9\]
Thay x1 + x2 = 5k và x1x2 = ‒4 vào đẳng thức trên ta được:
(5k)2 + 4.(‒4) = 9
25k2 ‒16 = 9
k2 = 1
k = 1 hoặc k = ‒1.
Vậy k ∈ {‒1; 1}.
b) Nếu k ≠ 0, thì phương trình đã cho là phương trình bậc hai, có
∆’ = [‒3(k ‒ 1)]2 ‒ k.9(k ‒ 3)
= (‒3k + 3)2 ‒ 9k2 + 27k
= 9k2 ‒ 18k + 9 ‒ 9k2 + 27k
= 9k + 9.
Để phương trình có hai nghiệm thì ∆ ≥ 0, tức là 9k + 9 ≥ 0 hay k ≥ ‒1.
Theo định lí Viète ta có: \[{x_1} + {x_2} = \frac{{6\left( {k - 1} \right)}}{k};\,\,{x_1}{x_2} = \frac{{9\left( {k - 3} \right)}}{k}.\]
Thay \[{x_1} + {x_2} = \frac{{6\left( {k - 1} \right)}}{k}\] và \[{x_1}{x_2} = \frac{{9\left( {k - 3} \right)}}{k}\] vào đẳng thức x1 + x2 – x1 x2 = 0 ta có:
\[\frac{{6\left( {k - 1} \right)}}{k} - \frac{{9\left( {k - 3} \right)}}{k} = 0\]
\[\frac{{6\left( {k - 1} \right) - 9\left( {k - 3} \right)}}{k} = 0\]
6k ‒ 6 ‒ 9k + 27 = 0
‒3k = ‒21
k = 7 (thỏa mãn điều kiện k ≥ ‒1 và k ≠ 0).
Vậy k = 7.
Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Phương trình đã cho có:
∆ = 4(2m + 1)2 ‒ 4.(‒4m2 ‒ 1) = 4(2m + 1)2 + 16m2 + 4.
Với mọi m, ta có: (2m + 1)2 ≥ 0 và 16m2 ≥ 0
Suy ra 4(2m + 1)2 + 16m2 + 4 > 0 với mọi m hay ∆ > 0 với mọi m.
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m.
b) Theo định lí Viète ta có:
x1 + x2 = ‒2(2m + 1) = ‒ 4m ‒ 2 và x1x2 = ‒4m2 ‒1.
⦁ Từ x1 + x2 = ‒ 4m ‒ 2 ta có ‒ 4m = x1 + x2 + 2 nên \[m = \frac{{{x_1} + {x_2} + 2}}{{ - 4}}.\]
Suy ra \[{m^2} = {\left( {\frac{{{x_1} + {x_2} + 2}}{{ - 4}}} \right)^2}\]
⦁ Từ x1x2 = ‒4m2 ‒1, suy ra ‒4m2 = x1x2 + 1, suy ra \[{m^2} = \frac{{{x_1}{x_2} + 1}}{{ - 4}}.\]
Khi đó, ta có: \[{\left( {\frac{{{x_1} + {x_2} + 2}}{{ - 4}}} \right)^2} = \frac{{{x_1}{x_2} + 1}}{{ - 4}}\]
\[\frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2} + 2} \right)}^2}}}{{{{\left( { - 4} \right)}^2}}} = \frac{{{x_1}{x_2} + 1}}{{ - 4}}\]
\[\frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2} + 2} \right)}^2}}}{{ - 4}} = {x_1}{x_2} + 1\]
(x1 + x2 + 2)2 + 4x1x2 + 4 = 0.
Vậy biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào giá trị của m là:
(x1 + x2 + 2)2 + 4x1x2 + 4 = 0.
Lời giải
a) Phương trình đã cho có:
∆ = (2m – 1)2 – 4.(–m) = 4m2 – 4m + 1 + 4m = 4m2 + 1 > 0 với mọi giá trị của m.
Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Theo định lí Viète, ta có: x1 + x2 = –(2m – 1) và x1x2 = –m.
Ta có: \(A = x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2}\)
\( = {\left[ { - \left( {2m - 1} \right)} \right]^2} - 3\left( { - m} \right) = 4{m^2} - 4m + 1 + 3m\)
\( = 4{m^2} - m + 1 = \left( {4{m^2} - 2 \cdot 2m \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{{16}}} \right) + 1 - \frac{1}{{16}}\)
\( = {\left( {2m - \frac{1}{4}} \right)^2} + \frac{{15}}{{16}}.\)
Với mọi m, ta có: \[{\left( {2m - \frac{1}{4}} \right)^2} \ge 0\] nên \[{\left( {2m - \frac{1}{4}} \right)^2} + \frac{{15}}{{16}} \ge \frac{{15}}{{16}}\] hay \(A \ge \frac{{15}}{{16}}.\)
Vậy biểu thức \[A = x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2}\] đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{{15}}{{16}}\) khi \[2m - \frac{1}{4} = 0\] hay \(m = \frac{1}{8}.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
Dạng 5: Bài toán về lãi suất ngân hàng có đáp án
-
Dạng 6: Bài toán về tăng giá, giảm giá và tăng, giảm dân số có đáp án
-
Dạng 2: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên có đáp án
-
15 câu Trắc nghiệm Toán 9 Kết nối tri thức Bài 1. Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án
-
Tổng hợp các bài toán thực tế ôn thi vào 10 Toán 9 có đáp án (Phần 2: Hình học)
-
12 bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến bất đẳng thức có lời giải
-
Chuyên đề 8: Hình học (có đáp án)
-
12 bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến bất phương trình bậc nhất một ẩn có lời giải
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận