Một bác thợ cắt vừa đủ một cây sắt thành các đoạn để hàn lại thành khung của một hình lập phương có cạnh là x (m) và một hình hộp chữ nhật có chiều rộng bằng chiều cao là y (m), chiều dài gấp 5 lần chiều rộng. Tìm độ dài cây sắt, biết x < y, x + y = 0,5 và xy = 0,06.

a) Phương trình đã cho có:

∆ = 4(2m + 1)² ‒ 4.(‒4m² ‒ 1) = 4(2m + 1)² + 16m² + 4.

Với mọi m, ta có: (2m + 1)² ≥ 0 và 16m² ≥ 0

Suy ra 4(2m + 1)² + 16m² + 4 > 0 với mọi m hay ∆ > 0 với mọi m.

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi giá trị của m.

b) Theo định lí Viète ta có:

x₁ + x₂ = ‒2(2m + 1) = ‒ 4m ‒ 2 và x₁x₂ = ‒4m² ‒1.

⦁ Từ x₁ + x₂ = ‒ 4m ‒ 2 ta có ‒ 4m = x₁ + x₂ + 2 nên \[m = \frac{{{x_1} + {x_2} + 2}}{{ - 4}}.\]

Suy ra \[{m^2} = {\left( {\frac{{{x_1} + {x_2} + 2}}{{ - 4}}} \right)^2}\]

⦁ Từ x₁x₂ = ‒4m² ‒1, suy ra ‒4m² = x₁x₂ + 1, suy ra \[{m^2} = \frac{{{x_1}{x_2} + 1}}{{ - 4}}.\]

Khi đó, ta có: \[{\left( {\frac{{{x_1} + {x_2} + 2}}{{ - 4}}} \right)^2} = \frac{{{x_1}{x_2} + 1}}{{ - 4}}\]

\[\frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2} + 2} \right)}^2}}}{{{{\left( { - 4} \right)}^2}}} = \frac{{{x_1}{x_2} + 1}}{{ - 4}}\]

\[\frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2} + 2} \right)}^2}}}{{ - 4}} = {x_1}{x_2} + 1\]

(x₁ + x₂ + 2)² + 4x₁x₂ + 4 = 0.

Vậy biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm x₁, x₂ không phụ thuộc vào giá trị của m là:

(x₁ + x₂ + 2)² + 4x₁x₂ + 4 = 0.

a) Phương trình đã cho có:

∆ = (2m – 1)² – 4.(–m) = 4m² – 4m + 1 + 4m = 4m² + 1 > 0 với mọi giá trị của m.

Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b) Theo định lí Viète, ta có: x₁ + x₂ = –(2m – 1) và x₁x₂ = –m.

Ta có: \(A = x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2}\)

\( = {\left[ { - \left( {2m - 1} \right)} \right]^2} - 3\left( { - m} \right) = 4{m^2} - 4m + 1 + 3m\)

\( = 4{m^2} - m + 1 = \left( {4{m^2} - 2 \cdot 2m \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{{16}}} \right) + 1 - \frac{1}{{16}}\)

\( = {\left( {2m - \frac{1}{4}} \right)^2} + \frac{{15}}{{16}}.\)

Với mọi m, ta có: \[{\left( {2m - \frac{1}{4}} \right)^2} \ge 0\] nên \[{\left( {2m - \frac{1}{4}} \right)^2} + \frac{{15}}{{16}} \ge \frac{{15}}{{16}}\] hay \(A \ge \frac{{15}}{{16}}.\)

Vậy biểu thức \[A = x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2}\] đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{{15}}{{16}}\) khi \[2m - \frac{1}{4} = 0\] hay \(m = \frac{1}{8}.\)