Câu hỏi:

25/08/2024 3,084

Cho phương trình x2 + 2(k + 1)x + k2 + 2k = 0.

a) Tìm các giá trị k để phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2 và |x1|.|x2| = 1.

b*) Tìm các giá trị k (k < 0) để phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2 trái dấu và nghiệm dương nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

a) Phương trình có: ∆= (k + 1)2 (k2 + 2k) = k2 + 2k + 1 – k2 – 2k = 1 > 0.

Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k.

Theo định lí Viète, ta có: x1 + x2 = –2(k + 1) và x1x2 = k2 + 2k.

Theo bài, |x1|.|x2| = 1 ta có |x1x2| = 1.

Suy ra |k2 + 2k| = 1.

Do đó k2 + 2k = –1 hoặc k2 + 2k = 1.

Giải phương trình: k2 + 2k = –1

 k2 + 2k + 1 = 0

 (k + 1)2 = 0

k + 1 = 0

k = –1.

Giải phương trình: k2 + 2k = 1

 k2 + 2k – 1 = 0

Phương trình trên có ∆’ = 12 – 1.(–1) = 2 > 0.

Do đó phương trình này có hai nghiệm phân biệt là:

\(k = - 1 + \sqrt 2 \) hoặc \(k = - 1 - \sqrt 2 .\)

Dễ thấy, nếu \(k = - 1,\,\,k = - 1 + \sqrt 2 ,\,\,k = - 1 - \sqrt 2 \) thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn |x1|.|x2| = 1.

Vậy \(k = - 1,\,\,k = - 1 + \sqrt 2 ,\,\,k = - 1 - \sqrt 2 \) là các giá trị cần tìm.

b*) Để phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu thì tích của hai nghiệm là số âm, do đó x1x2 < 0, tức là k2 + 2k < 0.

Giải bất phương trình:

 k2 + 2k < 0.

 k(k + 2) < 0

Suy ra k < 0 và k + 2 > 0 (do đề bài đã cho điều kiện k < 0).

 k < 0 và k > –2

 –2 < k < 0.

Do đó điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu là –2 < k < 0. (*)

Giả sử x1 < 0 < x2.

Để phương trình đã cho có nghiệm dương nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm, tức là x2 < 0 < |x1|.

Mà x1 < 0 nên |x1| = –x1.

Khi đó, ta có x2 < –x1 hay x1 + x­2 < 0.

Tức là, –2(k + 1) < 0

                  k + 1 > 0

                  k > –1.  (**).

Kết hợp hai điều kiện (*) và (**), ta có –1 < k < 0.

Dễ thấy, với các giá trị k sao cho –1 < k < 0 thì phương trình đã cho luôn có hai nghiệm x1, x2 trái dấu và nghiệm dương nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm.

Vậy các giá trị k cần tìm là các giá trị k sao cho –1 < k < 0.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

a) Phương trình đã cho có:

∆ = 4(2m + 1)2 ‒ 4.(‒4m2 ‒ 1) = 4(2m + 1)2 + 16m2 + 4.

Với mọi m, ta có: (2m + 1)2 ≥ 0 16m2 ≥ 0

Suy ra 4(2m + 1)2 + 16m2 + 4 > 0 với mọi m hay > 0 với mọi m.

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m.

b) Theo định lí Vte ta có:

x1 + x2 = ‒2(2m + 1) = ‒ 4m ‒ 2 x1x2 = ‒4m2 ‒1.

Từ x1 + x2 = 4m ‒ 2 ta có 4m = x1 + x2 + 2 nên \[m = \frac{{{x_1} + {x_2} + 2}}{{ - 4}}.\]

Suy ra \[{m^2} = {\left( {\frac{{{x_1} + {x_2} + 2}}{{ - 4}}} \right)^2}\]

Từ x1x2 = ‒4m2 ‒1, suy ra ‒4m2 = x1x2 + 1, suy ra \[{m^2} = \frac{{{x_1}{x_2} + 1}}{{ - 4}}.\]

Khi đó, ta có: \[{\left( {\frac{{{x_1} + {x_2} + 2}}{{ - 4}}} \right)^2} = \frac{{{x_1}{x_2} + 1}}{{ - 4}}\]

\[\frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2} + 2} \right)}^2}}}{{{{\left( { - 4} \right)}^2}}} = \frac{{{x_1}{x_2} + 1}}{{ - 4}}\]

\[\frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2} + 2} \right)}^2}}}{{ - 4}} = {x_1}{x_2} + 1\]

(x1 + x2 + 2)2 + 4x1x2 + 4 = 0.

Vậy biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào giá trị của m là:

(x1 + x2 + 2)2 + 4x1x2 + 4 = 0.

Lời giải

a) Phương trình đã cho có:

= (2m 1)2 4.(–m) = 4m2 – 4m + 1 + 4m = 4m2 + 1 > 0 với mọi giá trị của m.

Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b) Theo định lí Viète, ta có: x1 + x2 = –(2m 1) và x1x2 = –m.

Ta có: \(A = x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2}\)

\( = {\left[ { - \left( {2m - 1} \right)} \right]^2} - 3\left( { - m} \right) = 4{m^2} - 4m + 1 + 3m\)

\( = 4{m^2} - m + 1 = \left( {4{m^2} - 2 \cdot 2m \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{{16}}} \right) + 1 - \frac{1}{{16}}\)

\( = {\left( {2m - \frac{1}{4}} \right)^2} + \frac{{15}}{{16}}.\)

Với mọi m, ta có: \[{\left( {2m - \frac{1}{4}} \right)^2} \ge 0\] nên \[{\left( {2m - \frac{1}{4}} \right)^2} + \frac{{15}}{{16}} \ge \frac{{15}}{{16}}\] hay \(A \ge \frac{{15}}{{16}}.\)

Vậy biểu thức \[A = x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2}\] đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{{15}}{{16}}\) khi \[2m - \frac{1}{4} = 0\] hay \(m = \frac{1}{8}.\)