Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều rộng x (m), chiều dài gấp rưỡi chiều rộng. Người ta đã làm một vườn hoa ở trung tâm mảnh đất với diện tích bằng 640 m² và làm một con đường rộng 2 m xung quanh vườn hoa đó (Hình 10). Hỏi chu vi của mảnh đất đó bằng bao nhiêu mét?

a) Phương trình đã cho có:

∆ = 4(2m + 1)² ‒ 4.(‒4m² ‒ 1) = 4(2m + 1)² + 16m² + 4.

Với mọi m, ta có: (2m + 1)² ≥ 0 và 16m² ≥ 0

Suy ra 4(2m + 1)² + 16m² + 4 > 0 với mọi m hay ∆ > 0 với mọi m.

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi giá trị của m.

b) Theo định lí Viète ta có:

x₁ + x₂ = ‒2(2m + 1) = ‒ 4m ‒ 2 và x₁x₂ = ‒4m² ‒1.

⦁ Từ x₁ + x₂ = ‒ 4m ‒ 2 ta có ‒ 4m = x₁ + x₂ + 2 nên \[m = \frac{{{x_1} + {x_2} + 2}}{{ - 4}}.\]

Suy ra \[{m^2} = {\left( {\frac{{{x_1} + {x_2} + 2}}{{ - 4}}} \right)^2}\]

⦁ Từ x₁x₂ = ‒4m² ‒1, suy ra ‒4m² = x₁x₂ + 1, suy ra \[{m^2} = \frac{{{x_1}{x_2} + 1}}{{ - 4}}.\]

Khi đó, ta có: \[{\left( {\frac{{{x_1} + {x_2} + 2}}{{ - 4}}} \right)^2} = \frac{{{x_1}{x_2} + 1}}{{ - 4}}\]

\[\frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2} + 2} \right)}^2}}}{{{{\left( { - 4} \right)}^2}}} = \frac{{{x_1}{x_2} + 1}}{{ - 4}}\]

\[\frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2} + 2} \right)}^2}}}{{ - 4}} = {x_1}{x_2} + 1\]

(x₁ + x₂ + 2)² + 4x₁x₂ + 4 = 0.

Vậy biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm x₁, x₂ không phụ thuộc vào giá trị của m là:

(x₁ + x₂ + 2)² + 4x₁x₂ + 4 = 0.

a) Phương trình đã cho có:

∆ = (2m – 1)² – 4.(–m) = 4m² – 4m + 1 + 4m = 4m² + 1 > 0 với mọi giá trị của m.

Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b) Theo định lí Viète, ta có: x₁ + x₂ = –(2m – 1) và x₁x₂ = –m.

Ta có: \(A = x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2}\)

\( = {\left[ { - \left( {2m - 1} \right)} \right]^2} - 3\left( { - m} \right) = 4{m^2} - 4m + 1 + 3m\)

\( = 4{m^2} - m + 1 = \left( {4{m^2} - 2 \cdot 2m \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{{16}}} \right) + 1 - \frac{1}{{16}}\)

\( = {\left( {2m - \frac{1}{4}} \right)^2} + \frac{{15}}{{16}}.\)

Với mọi m, ta có: \[{\left( {2m - \frac{1}{4}} \right)^2} \ge 0\] nên \[{\left( {2m - \frac{1}{4}} \right)^2} + \frac{{15}}{{16}} \ge \frac{{15}}{{16}}\] hay \(A \ge \frac{{15}}{{16}}.\)

Vậy biểu thức \[A = x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2}\] đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{{15}}{{16}}\) khi \[2m - \frac{1}{4} = 0\] hay \(m = \frac{1}{8}.\)