Cho phương trình x² + 2(2m + 1)x – 4m² – 1 = 0.

a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn có hai nghiệm x₁, x₂ với mọi giá trị của m.

b) Tìm biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm x₁, x₂ không phụ thuộc vào giá trị của m.

a) Phương trình đã cho có:

∆ = (2m – 1)² – 4.(–m) = 4m² – 4m + 1 + 4m = 4m² + 1 > 0 với mọi giá trị của m.

Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b) Theo định lí Viète, ta có: x₁ + x₂ = –(2m – 1) và x₁x₂ = –m.

Ta có: \(A = x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2}\)

\( = {\left[ { - \left( {2m - 1} \right)} \right]^2} - 3\left( { - m} \right) = 4{m^2} - 4m + 1 + 3m\)

\( = 4{m^2} - m + 1 = \left( {4{m^2} - 2 \cdot 2m \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{{16}}} \right) + 1 - \frac{1}{{16}}\)

\( = {\left( {2m - \frac{1}{4}} \right)^2} + \frac{{15}}{{16}}.\)

Với mọi m, ta có: \[{\left( {2m - \frac{1}{4}} \right)^2} \ge 0\] nên \[{\left( {2m - \frac{1}{4}} \right)^2} + \frac{{15}}{{16}} \ge \frac{{15}}{{16}}\] hay \(A \ge \frac{{15}}{{16}}.\)

Vậy biểu thức \[A = x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2}\] đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{{15}}{{16}}\) khi \[2m - \frac{1}{4} = 0\] hay \(m = \frac{1}{8}.\)

a) Phương trình có: ∆’ = (k + 1)² – (k² + 2k) = k² + 2k + 1 – k² – 2k = 1 > 0.

Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k.

Theo định lí Viète, ta có: x₁ + x₂ = –2(k + 1) và x₁x₂ = k² + 2k.

Theo bài, |x₁|.|x₂| = 1 ta có |x₁x₂| = 1.

Suy ra |k² + 2k| = 1.

Do đó k² + 2k = –1 hoặc k² + 2k = 1.

⦁ Giải phương trình: k² + 2k = –1

 k² + 2k + 1 = 0

 (k + 1)² = 0

k + 1 = 0

k = –1.

⦁ Giải phương trình: k² + 2k = 1

 k² + 2k – 1 = 0

Phương trình trên có ∆’ = 1² – 1.(–1) = 2 > 0.

Do đó phương trình này có hai nghiệm phân biệt là:

\(k = - 1 + \sqrt 2 \) hoặc \(k = - 1 - \sqrt 2 .\)

Dễ thấy, nếu \(k = - 1,\,\,k = - 1 + \sqrt 2 ,\,\,k = - 1 - \sqrt 2 \) thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thoả mãn |x₁|.|x₂| = 1.

Vậy \(k = - 1,\,\,k = - 1 + \sqrt 2 ,\,\,k = - 1 - \sqrt 2 \) là các giá trị cần tìm.

b*) ⦁ Để phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu thì tích của hai nghiệm là số âm, do đó x₁x₂ < 0, tức là k² + 2k < 0.

Giải bất phương trình:

 k² + 2k < 0.

 k(k + 2) < 0

Suy ra k < 0 và k + 2 > 0 (do đề bài đã cho điều kiện k < 0).

 k < 0 và k > –2

 –2 < k < 0.

Do đó điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu là –2 < k < 0. (*)

Giả sử x₁ < 0 < x₂.

⦁ Để phương trình đã cho có nghiệm dương nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm, tức là x₂ < 0 < |x₁|.

Mà x₁ < 0 nên |x₁| = –x₁.

Khi đó, ta có x₂ < –x₁ hay x₁ + x­₂ < 0.

Tức là, –2(k + 1) < 0

                  k + 1 > 0

                  k > –1.  (**).

Kết hợp hai điều kiện (*) và (**), ta có –1 < k < 0.

Dễ thấy, với các giá trị k sao cho –1 < k < 0 thì phương trình đã cho luôn có hai nghiệm x₁, x₂ trái dấu và nghiệm dương nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm.

Vậy các giá trị k cần tìm là các giá trị k sao cho –1 < k < 0.