Tìm các số x, y thoả mãn:

a) \(x - y = \frac{1}{4} - \sqrt 7 \) và \(xy = \frac{{\sqrt 7 }}{4};\)

b) \(x + y = \frac{1}{6}\) và \(xy =  - \frac{1}{6}.\)

a) Đặt t = –y, ta có y = –t.

Khi đó \(x + t = \frac{1}{4} - \sqrt 7 \) và \(xy = x\left( { - t} \right) = \frac{{\sqrt 7 }}{4},\) suy ra \(xt = - \frac{{\sqrt 7 }}{4}.\)

Hai số x và t có tổng bằng \(\frac{1}{4} - \sqrt 7 \) và tích bằng \( - \frac{{\sqrt 7 }}{4}\) nên hai số này là hai nghiệm của phương trình: \({X^2} - \left( {\frac{1}{4} - \sqrt 7 } \right)X - \frac{{\sqrt 7 }}{4} = 0\) hay \[4{X^2} - \left( {1 - 4\sqrt 7 } \right)X - \sqrt 7 = 0.\]

Phương trình trên có: \[\Delta = {\left[ { - \left( {1 - 4\sqrt 7 } \right)} \right]^2} - 4 \cdot 4 \cdot \left( { - \sqrt 7 } \right)\]

\[ = 1 - 8\sqrt 7 + 112 + 16\sqrt 7 = 1 + 8\sqrt 7 + 112\]

\[ = {\left( {1 + \sqrt 7 } \right)^2} > 0\]

Ta có \(\sqrt \Delta   = \sqrt {{{\left( {1 + \sqrt 7 } \right)}^2}} = 1 + \sqrt 7 .\)

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\[{X_1} = \frac{{1 - 4\sqrt 7 + 1 + 4\sqrt 7 }}{{2 \cdot 4}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4};\]

\[{X_2} = \frac{{1 - 4\sqrt 7 - \left( {1 + 4\sqrt 7 } \right)}}{{2 \cdot 4}} = \frac{{1 - 4\sqrt 7 - 1 - 4\sqrt 7 }}{8} = \frac{{ - 8\sqrt 7 }}{8} = - \sqrt 7 .\]

Khi đó, \(x = \frac{1}{4};\,\,t = - \sqrt 7 \) hoặc \(x = - \sqrt 7 ;\,\,t = \frac{1}{4}.\)

⦁ Với \(t = - \sqrt 7 \) thì \(y = \sqrt 7 ,\) ta có \(x = \frac{1}{4};\,\,y = \sqrt 7 \)

⦁ Với \(t = \frac{1}{4}\) thì \(y = - \frac{1}{4},\) ta có \(x = - \sqrt 7 ;\,\,y = - \frac{1}{4}.\)

Vậy \(x = \frac{1}{4};\,\,y = \sqrt 7 \) hoặc \(x = - \sqrt 7 ;\,\,y = - \frac{1}{4}.\)

b) Hai số x và y có tổng bằng \(\frac{1}{6}\) và tích bằng \( - \frac{1}{6}\) nên hai số này là hai nghiệm của phương trình: \({X^2} - \frac{1}{6}X - \frac{1}{6} = 0.\)

Phương trình trên có \[\Delta = {\left( { - \frac{1}{6}} \right)^2} - 4 \cdot \left( { - \frac{1}{6}} \right) = \frac{1}{{36}} + \frac{2}{3} = \frac{{25}}{{36}} > 0\] và \(\sqrt \Delta   = \sqrt {\frac{{25}}{{36}}} = \frac{5}{6}.\)

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\[{X_1} = \frac{{\frac{1}{6} + \frac{5}{6}}}{{2 \cdot 1}} = \frac{{\frac{6}{6}}}{2} = \frac{1}{2};\]

\[{X_2} = \frac{{\frac{1}{6} - \frac{5}{6}}}{{2 \cdot 1}} = \frac{{ - \frac{4}{6}}}{2} = - \frac{1}{3}.\]

Vậy \(x = \frac{1}{2};\,\,y = - \frac{1}{3}\) hoặc \(x = - \frac{1}{3};\,\,y = \frac{1}{2}.\)