Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Tính số đo mỗi góc còn lại của tứ giác đó trong mỗi trường hợp sau:

a)  $\hat{A}=3\hat{C}$ và $\hat{B}=5\hat{D}$;

b) $\hat{A}-\hat{C}=12°$ và $\hat{D}-\hat{B}=76°$;

c) $\hat{A}=7\hat{B}$ và $\hat{A}+2\hat{B}=180°;$

d) $\hat{D}-\hat{C}=20°$ và $\hat{D}+\hat{C}=100°$.

⦁ Vì ∆ABC đều nên $\widehat{BAC}=\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=60°$.

Do tứ giác ABEC nội tiếp đường tròn nên tổng hai góc đối nhau bằng 180°, suy ra $\widehat{CEB}+\widehat{BAC}=180°$

Mà $\widehat{CEB}+\widehat{CED}=180°$ (hai góc kề bù)

Do đó $\widehat{CED}=\widehat{BAD}=60°\left(=180°-\widehat{BEC}\right)$

Xét đường tròn (O) có $\widehat{AEC}=\widehat{ABC}=60°$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC) nên $\widehat{AEC}=\widehat{CED}=60°$.

Do đó, EC là đường phân giác của góc AED.

⦁ Tương tự ta có $\widehat{AEC}=\widehat{ABC}=60°$ và $\widehat{AEB}=\widehat{ACB}=60°$.

Do đó $\widehat{AEB}=\widehat{AEC}=60°$ hay EA là đường phân giác của góc BEC.

a) Gọi I là trung điểm của MF.

Xét ∆CMF vuông tại C nên điểm C nằm trên đường tròn đường kính MF.

Do ABCD là hình vuông nên ∆MAF vuông tại A, do đó điểm A nằm trên đường tròn đường kính MF.

Khi đó, bốn điểm A, M, C, F cùng nằm trên đường tròn đường kính MF, do đó tứ giác AMCF nội tiếp đường tròn đường kính MF.

Suy ra  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MA) hay $\widehat{NCA}=\widehat{MFN}$.

Tương tự, ta chứng minh được tứ giác NACE nội tiếp đường tròn đường kính NE, nên $\widehat{NEA}=\widehat{NCA}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NA).

b) Do ABCD là hình vuông nên AC là đường phân giác của $\widehat{BAD}$, do đó $\widehat{BAC}=\widehat{CAD}=\frac{1}{2}\widehat{BAD}=\frac{1}{2}·90°=45°$ hay $\widehat{EAC}=45°$

Ta có tứ giác NACE nội tiếp đường tròn nên  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EC).

Mà $\widehat{NEC}=90°$ nên tam giác CEN vuông cân tại C.

Vì thế CN = CE.

Tương tự, tam giác CMF vuông cân tại C suy ra CM = CF.

Do đó CM + CN = CF + CE = EF.