Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M. Đường thẳng qua C vuông góc với CM cắt các tia AB, AD lần lượt tại E và F. Tia CM cắt đường thẳng AD tại N. Chứng minh rằng:

a) $\widehat{NCA}=\widehat{MFN}$ và $\widehat{NEA}=\widehat{NCA}$ ;

b) CM + CN = EF.

Vì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nên tổng hai góc đối bằng 180°.

Do đó ta có: $\hat{A}+\hat{C}=180°, \hat{B}+\hat{D}=180°$

a) ⦁ Ta có: $\hat{A}+\hat{C}=180°$ và $\hat{A}=3\hat{C}$

Suy ra $3\hat{C}+\hat{C}=180°$ hay $4\hat{C}=180°$ nên $\hat{C}=45°$.

Do đó $\hat{A}=3\hat{C}=3·45°=135°$.

⦁ Ta có $\hat{B}+\hat{D}=180°$ và $\hat{B}=5\hat{D}$

Suy ra $5\hat{D}+\hat{D}=180°$ hay $6\hat{D}=180°$ nên $\hat{D}=30°$.

Do đó $\hat{B}=5\hat{D}=5·30°=150°$.

Vậy $\hat{A}=135°, \hat{B}=150°, \hat{C}=45°,\hat{D}=30°$.

b) Từ $\hat{A}-\hat{C}=12°$ và $\hat{D}-\hat{B}=76°$ ta có $\hat{A}=\hat{C}+12°$ và $\hat{D}=\hat{B}+76°$

• Ta có $\hat{A}+\hat{C}=180°$ và $\hat{A}=\hat{C}+12°$

Suy ra $\hat{C}+12°+\hat{C}=180°$ hay $2\hat{C}=168°$ nên $\hat{C}=84°$.

Do đó $\hat{A}=\hat{C}+12°=84°+12°=96°$.

• Ta có $\hat{B}+\hat{D}=180°$ và $\hat{D}=\hat{B}+76°$

Suy ra $\hat{B}+\hat{B}+76°=180°$ hay $2\hat{B}=104°$ nên $\hat{B}=52°$

Do đó $\hat{D}=\hat{B}+76°=52°+76°=128°$.

Vậy $\hat{A}=96°,\overbrace{B}=52°,\hat{C}=84°,\hat{D}=128°$.

c) Từ $\hat{A}=7\hat{B}$ và $\hat{A}+2\hat{B}=180°$ ta có $7\hat{B}+2\hat{B}=180°$

Hay $9\hat{B}=180°$ nên $\hat{B}=20°$.

Ta có:

• $\hat{A}=7\hat{B}=7·20°=140°$.

• $\hat{A}+\hat{C}=180°$ suy ra $\hat{C}=180°-\hat{A}=180°-140°=40°;$

• $\hat{B}+\hat{D}=180°$ suy ra $\hat{D}=180°-\hat{B}=180°-20°=160°$.

Vậy $\hat{A}=140°, \hat{B}=20°, \hat{C}=40°, \hat{D}=160°$.

d) Từ $\hat{D}-\hat{C}=20°$ ta có $\hat{D}=\hat{C}+20°$

Mà $\hat{D}+\hat{C}=100°$ nên $\hat{C}+20°+\hat{C}=100°$

Hay $2\hat{C}=80°$ suy ra $\hat{C}=40°$

Ta có:

• $\hat{D}=\hat{C}+20°=40°+20°=60°;$

• $\hat{A}+\hat{C}=180°$ suy ra $\hat{A}=180°-\hat{C}=180°-40°=140°$

• $\hat{B}+\hat{D}=180°$ suy ra $\hat{B}=180°-\hat{D}=180°-60°=120°$

Vậy $\hat{A}=140°, \hat{B}=120°, \hat{C}=40°, \hat{D}=60°$.

⦁ Vì ∆ABC đều nên $\widehat{BAC}=\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=60°$.

Do tứ giác ABEC nội tiếp đường tròn nên tổng hai góc đối nhau bằng 180°, suy ra $\widehat{CEB}+\widehat{BAC}=180°$

Mà $\widehat{CEB}+\widehat{CED}=180°$ (hai góc kề bù)

Do đó $\widehat{CED}=\widehat{BAD}=60°\left(=180°-\widehat{BEC}\right)$

Xét đường tròn (O) có $\widehat{AEC}=\widehat{ABC}=60°$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC) nên $\widehat{AEC}=\widehat{CED}=60°$.

Do đó, EC là đường phân giác của góc AED.

⦁ Tương tự ta có $\widehat{AEC}=\widehat{ABC}=60°$ và $\widehat{AEB}=\widehat{ACB}=60°$.

Do đó $\widehat{AEB}=\widehat{AEC}=60°$ hay EA là đường phân giác của góc BEC.