Câu hỏi:
13/09/2024 28Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M. Đường thẳng qua C vuông góc với CM cắt các tia AB, AD lần lượt tại E và F. Tia CM cắt đường thẳng AD tại N. Chứng minh rằng:
a) và ;
b) CM + CN = EF.
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).
Quảng cáo
Trả lời:
a) Gọi I là trung điểm của MF.
Xét ∆CMF vuông tại C nên điểm C nằm trên đường tròn đường kính MF.
Do ABCD là hình vuông nên ∆MAF vuông tại A, do đó điểm A nằm trên đường tròn đường kính MF.
Khi đó, bốn điểm A, M, C, F cùng nằm trên đường tròn đường kính MF, do đó tứ giác AMCF nội tiếp đường tròn đường kính MF.
Suy ra (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MA) hay .
Tương tự, ta chứng minh được tứ giác NACE nội tiếp đường tròn đường kính NE, nên (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NA).
b) Do ABCD là hình vuông nên AC là đường phân giác của , do đó hay
Ta có tứ giác NACE nội tiếp đường tròn nên (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EC).
Mà nên tam giác CEN vuông cân tại C.
Vì thế CN = CE.
Tương tự, tam giác CMF vuông cân tại C suy ra CM = CF.
Do đó CM + CN = CF + CE = EF.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Tính số đo mỗi góc còn lại của tứ giác đó trong mỗi trường hợp sau:
a) và ;
b) và ;
c) và
d) và .
Câu 2:
Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác đều ABC. Điểm E nằm trên cung nhỏ BC (E khác B và C). ED là tia đối của tia EB. Chứng minh EC là phân giác của góc AED và EA là phân giác của góc BEC.
Câu 3:
Cho tam giác ABC cân ở A, H là trung điểm của BC và Đường vuông góc với AB tại A cắt đường thẳng BC ở D. Kẻ DE vuông góc với AC. Chứng minh:
a) AH = EH;
b) .
Câu 4:
Hình vuông ABCD có cạnh bằng 1, người ta nối trung điểm các cạnh liên tiếp của nó để tạo thành tứ giác EFGH, tiếp tục như vậy được tứ giác mới IKPQ (Hình 15).
Chứng minh:
a) Tứ giác EFGH và tứ giác IKPQ là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Tỉ số bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác EFGH bằng tỉ số bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác EFGH và bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác IKPQ.
Câu 5:
Chứng minh rằng mỗi hình thang cân là một tứ giác nội tiếp đường tròn.
Câu 6:
Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai dây không đi qua tâm không thể cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
về câu hỏi!