Câu hỏi:
13/09/2024 2,352
Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M. Đường thẳng qua C vuông góc với CM cắt các tia AB, AD lần lượt tại E và F. Tia CM cắt đường thẳng AD tại N. Chứng minh rằng:
a) và ;
b) CM + CN = EF.
Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M. Đường thẳng qua C vuông góc với CM cắt các tia AB, AD lần lượt tại E và F. Tia CM cắt đường thẳng AD tại N. Chứng minh rằng:
a) và ;
b) CM + CN = EF.
Quảng cáo
Trả lời:

a) Gọi I là trung điểm của MF.
Xét ∆CMF vuông tại C nên điểm C nằm trên đường tròn đường kính MF.
Do ABCD là hình vuông nên ∆MAF vuông tại A, do đó điểm A nằm trên đường tròn đường kính MF.
Khi đó, bốn điểm A, M, C, F cùng nằm trên đường tròn đường kính MF, do đó tứ giác AMCF nội tiếp đường tròn đường kính MF.
Suy ra (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MA) hay .
Tương tự, ta chứng minh được tứ giác NACE nội tiếp đường tròn đường kính NE, nên (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NA).
b) Do ABCD là hình vuông nên AC là đường phân giác của , do đó hay
Ta có tứ giác NACE nội tiếp đường tròn nên (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EC).
Mà nên tam giác CEN vuông cân tại C.
Vì thế CN = CE.
Tương tự, tam giác CMF vuông cân tại C suy ra CM = CF.
Do đó CM + CN = CF + CE = EF.
Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải

Vì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nên tổng hai góc đối bằng 180°.
Do đó ta có:
a) ⦁ Ta có: và
Suy ra hay nên .
Do đó .
⦁ Ta có và
Suy ra hay nên .
Do đó .
Vậy .
b) Từ và ta có và
• Ta có và
Suy ra hay nên .
Do đó .
• Ta có và
Suy ra hay nên
Do đó .
Vậy .
c) Từ và ta có
Hay nên .
Ta có:
• .
• suy ra
• suy ra .
Vậy .
d) Từ ta có
Mà nên
Hay suy ra
Ta có:
•
• suy ra
• suy ra
Vậy .
Lời giải

a) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, HK.
Khi đó MI, NI lần lượt là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB của các tam giác vuông AMB, ANB nên
Suy ra tứ giác AMBN nội tiếp đường tròn tâm I, đường kính AB.
Tương tự, tứ giác HMNK nội tiếp đường tròn tâm J, đường kính HK.
b) Do tứ giác HMNK nội tiếp đường tròn nên tổng hai góc đối bằng 180°, suy ra
Mà (hai góc kề bù)
Nên hay .
Xét ∆AMN và ∆AKH có:
là góc chung và .
Do đó ∆AMN ᔕ ∆AKH (g.g)
Suy ra (1)
Lại có tam giác AHN vuông tại N nên
hay tức là .
Do đó AH = 2AN (2)
Từ (1) và (2) suy ra nên HK = 2MN.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.