Câu hỏi:

13/09/2024 2,325

Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M. Đường thẳng qua C vuông góc với CM cắt các tia AB, AD lần lượt tại E và F. Tia CM cắt đường thẳng AD tại N. Chứng minh rằng:

a) $\hat{N C A} = \hat{M F N}$ và $\hat{N E A} = \hat{N C A}$ ;

b) CM + CN = EF.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 9 Cánh diều Bài 2. Tứ giác nội tiếp đường tròn !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M. Đường thẳng qua C vuông góc với CM cắt các tia AB (ảnh 1)

a) Gọi I là trung điểm của MF.

Xét ∆CMF vuông tại C nên điểm C nằm trên đường tròn đường kính MF.

Do ABCD là hình vuông nên ∆MAF vuông tại A, do đó điểm A nằm trên đường tròn đường kính MF.

Khi đó, bốn điểm A, M, C, F cùng nằm trên đường tròn đường kính MF, do đó tứ giác AMCF nội tiếp đường tròn đường kính MF.

Suy ra (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MA) hay $\hat{N C A} = \hat{M F N}$ .

Tương tự, ta chứng minh được tứ giác NACE nội tiếp đường tròn đường kính NE, nên $\hat{N E A} = \hat{N C A}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NA).

b) Do ABCD là hình vuông nên AC là đường phân giác của $\hat{B A D}$ , do đó $\hat{B A C} = \hat{C A D} = \frac{1}{2} \hat{B A D} = \frac{1}{2} \cdot 90 ° = 45 °$ hay $\hat{E A C} = 45 °$

Ta có tứ giác NACE nội tiếp đường tròn nên (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EC).

Mà $\hat{N E C} = 90 °$ nên tam giác CEN vuông cân tại C.

Vì thế CN = CE.

Tương tự, tam giác CMF vuông cân tại C suy ra CM = CF.

Do đó CM + CN = CF + CE = EF.

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Tính số đo mỗi góc còn lại của tứ giác đó trong mỗi trường hợp sau:

a) $\hat{A} = 3 \hat{C}$ và $\hat{B} = 5 \hat{D}$ ;

b) $\hat{A} - \hat{C} = 12 °$ và $\hat{D} - \hat{B} = 76 °$ ;

c) $\hat{A} = 7 \hat{B}$ và $\hat{A} + 2 \hat{B} = 180 °;$

d) $\hat{D} - \hat{C} = 20 °$ và $\hat{D} + \hat{C} = 100 °$ .

Xem đáp án

Lời giải

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Tính số đo mỗi góc còn lại của tứ giác đó trong mỗi trường (ảnh 1)

Vì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nên tổng hai góc đối bằng 180°.

Do đó ta có: $\hat{A} + \hat{C} = 180 °, \hat{B} + \hat{D} = 180 °$

a) ⦁ Ta có: $\hat{A} + \hat{C} = 180 °$ và $\hat{A} = 3 \hat{C}$

Suy ra $3 \hat{C} + \hat{C} = 180 °$ hay $4 \hat{C} = 180 °$ nên $\hat{C} = 45 °$ .

Do đó $\hat{A} = 3 \hat{C} = 3 \cdot 45 ° = 135 °$ .

⦁ Ta có $\hat{B} + \hat{D} = 180 °$ và $\hat{B} = 5 \hat{D}$

Suy ra $5 \hat{D} + \hat{D} = 180 °$ hay $6 \hat{D} = 180 °$ nên $\hat{D} = 30 °$ .

Do đó $\hat{B} = 5 \hat{D} = 5 \cdot 30 ° = 150 °$ .

Vậy $\hat{A} = 135 °, \hat{B} = 150 °, \hat{C} = 45 °, \hat{D} = 30 °$ .

b) Từ $\hat{A} - \hat{C} = 12 °$ và $\hat{D} - \hat{B} = 76 °$ ta có $\hat{A} = \hat{C} + 12 °$ và $\hat{D} = \hat{B} + 76 °$

• Ta có $\hat{A} + \hat{C} = 180 °$ và $\hat{A} = \hat{C} + 12 °$

Suy ra $\hat{C} + 12 ° + \hat{C} = 180 °$ hay $2 \hat{C} = 168 °$ nên $\hat{C} = 84 °$ .

Do đó $\hat{A} = \hat{C} + 12 ° = 84 ° + 12 ° = 96 °$ .

• Ta có $\hat{B} + \hat{D} = 180 °$ và $\hat{D} = \hat{B} + 76 °$

Suy ra $\hat{B} + \hat{B} + 76 ° = 180 °$ hay $2 \hat{B} = 104 °$ nên $\hat{B} = 52 °$

Do đó $\hat{D} = \hat{B} + 76 ° = 52 ° + 76 ° = 128 °$ .

Vậy $\hat{A} = 96 °, \overset{⏞}{B} = 52 °, \hat{C} = 84 °, \hat{D} = 128 °$ .

c) Từ $\hat{A} = 7 \hat{B}$ và $\hat{A} + 2 \hat{B} = 180 °$ ta có $7 \hat{B} + 2 \hat{B} = 180 °$

Hay $9 \hat{B} = 180 °$ nên $\hat{B} = 20 °$ .

Ta có:

• $\hat{A} = 7 \hat{B} = 7 \cdot 20 ° = 140 °$ .

• $\hat{A} + \hat{C} = 180 °$ suy ra $\hat{C} = 180 ° - \hat{A} = 180 ° - 140 ° = 40 °;$

• $\hat{B} + \hat{D} = 180 °$ suy ra $\hat{D} = 180 ° - \hat{B} = 180 ° - 20 ° = 160 °$ .

Vậy $\hat{A} = 140 °, \hat{B} = 20 °, \hat{C} = 40 °, \hat{D} = 160 °$ .

d) Từ $\hat{D} - \hat{C} = 20 °$ ta có $\hat{D} = \hat{C} + 20 °$

Mà $\hat{D} + \hat{C} = 100 °$ nên $\hat{C} + 20 ° + \hat{C} = 100 °$

Hay $2 \hat{C} = 80 °$ suy ra $\hat{C} = 40 °$

Ta có:

• $\hat{D} = \hat{C} + 20 ° = 40 ° + 20 ° = 60 °;$

• $\hat{A} + \hat{C} = 180 °$ suy ra $\hat{A} = 180 ° - \hat{C} = 180 ° - 40 ° = 140 °$

• $\hat{B} + \hat{D} = 180 °$ suy ra $\hat{B} = 180 ° - \hat{D} = 180 ° - 60 ° = 120 °$

Vậy $\hat{A} = 140 °, \hat{B} = 120 °, \hat{C} = 40 °, \hat{D} = 60 °$ .

Câu 2

Cho $\hat{x A y} = 60 °$ và điểm B nằm trong góc xAy. Kẻ đường thẳng BN vuông góc với Ay cắt Ax tại H; kẻ đường thẳng BM vuông góc với Ax cắt Ay tại K (Hình 14).

Chứng minh:

a) Các tứ giác AMBN, HMNK là các tứ giác nội tiếp đường tròn;

b) HK = 2MN.

Xem đáp án

Lời giải

Cho ^xAy và điểm B nằm trong góc xAy. Kẻ đường thẳng BN vuông góc với Ay cắt Ax tại H; (ảnh 2)

a) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, HK.

Khi đó MI, NI lần lượt là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB của các tam giác vuông AMB, ANB nên $I M = I N = I A = I B = \frac{A B}{2} .$

Suy ra tứ giác AMBN nội tiếp đường tròn tâm I, đường kính AB.

Tương tự, tứ giác HMNK nội tiếp đường tròn tâm J, đường kính HK.

b) Do tứ giác HMNK nội tiếp đường tròn nên tổng hai góc đối bằng 180°, suy ra $\hat{H M N} + \hat{N K H} = 180 °$

Mà $\hat{A M N} + \hat{H M N} = 180 °$ (hai góc kề bù)

Nên $\hat{A M N} = \hat{N K H} (= 180 ° - \hat{H M N})$ hay $\hat{A M N} = \hat{A K H}$ .

Xét ∆AMN và ∆AKH có:

$\hat{K A H}$ là góc chung và $\hat{A M N} = \hat{A K H}$ .

Do đó ∆AMN ᔕ ∆AKH (g.g)

Suy ra $\frac{M N}{A H} = \frac{A N}{A H}$ (1)

Lại có tam giác AHN vuông tại N nên

$\cos \hat{H A N} = \frac{A N}{A H}$ hay $\cos 60 ° = \frac{A N}{A H},$ tức là $\frac{A N}{A H} = \frac{1}{2}$ .

Do đó AH = 2AN (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{M N}{K H} = \frac{A N}{A H}$ nên HK = 2MN.

Câu 3

Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác đều ABC. Điểm E nằm trên cung nhỏ BC (E khác B và C). ED là tia đối của tia EB. Chứng minh EC là phân giác của góc AED và EA là phân giác của góc BEC.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Tìm phát biểu sai trong các phát biểu sau:

a) Tứ giác có bốn đỉnh thuộc một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Trong một tứ giác nội tiếp đường tròn, tổng số đo hai góc bất kì bằng 180°.

c) Hình chữ nhật luôn nội tiếp đường tròn.

d) Mỗi hình vuông là một tứ giác nội tiếp đường tròn.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho tam giác ABC cân ở A, H là trung điểm của BC và Đường vuông góc với AB tại A cắt đường thẳng BC ở D. Kẻ DE vuông góc với AC. Chứng minh:

a) AH = EH;

b) $\hat{D C E} = \hat{A B D}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho tam giác ABC vuông cân tại C và nội tiếp đường tròn (O; R). E là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ AC. Gọi I là giao điểm của EB và AC. Kẻ IK vuông góc với AB. Chứng minh rằng khi E di chuyển trên cung nhỏ AC thì EK luôn đi qua một điểm cố định.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M. Đường thẳng qua C vuông góc với CM cắt các tia AB, AD lần lượt tại E và F. Tia CM cắt đường thẳng AD tại N. Chứng minh rằng: a) NCA^=MFN^ và NEA^=NCA^ ; b) CM + CN = EF.

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Tính số đo mỗi góc còn lại của tứ giác đó trong mỗi trường hợp sau: a) A^=3C^ và B^=5D^; b) A^-C^=12° và D^-B^=76°; c) A^=7B^ và A^+2B^=180°; d) D^-C^=20° và D^+C^=100°.

Cho xAy^=60° và điểm B nằm trong góc xAy. Kẻ đường thẳng BN vuông góc với Ay cắt Ax tại H; kẻ đường thẳng BM vuông góc với Ax cắt Ay tại K (Hình 14). Chứng minh: a) Các tứ giác AMBN, HMNK là các tứ giác nội tiếp đường tròn; b) HK = 2MN.

Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác đều ABC. Điểm E nằm trên cung nhỏ BC (E khác B và C). ED là tia đối của tia EB. Chứng minh EC là phân giác của góc AED và EA là phân giác của góc BEC.

Cho tam giác ABC cân ở A, H là trung điểm của BC và Đường vuông góc với AB tại A cắt đường thẳng BC ở D. Kẻ DE vuông góc với AC. Chứng minh: a) AH = EH; b) DCE^=ABD^.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M. Đường thẳng qua C vuông góc với CM cắt các tia AB, AD lần lượt tại E và F. Tia CM cắt đường thẳng AD tại N. Chứng minh rằng:

a) $\hat{N C A} = \hat{M F N}$ và $\hat{N E A} = \hat{N C A}$ ;

b) CM + CN = EF.

Cho tam giác ABC cân ở A, H là trung điểm của BC và Đường vuông góc với AB tại A cắt đường thẳng BC ở D. Kẻ DE vuông góc với AC. Chứng minh:

a) AH = EH;

b) $\hat{D C E} = \hat{A B D}$ .