Cho tam giác ABC vuông cân tại C và nội tiếp đường tròn (O; R). E là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ AC. Gọi I là giao điểm của EB và AC. Kẻ IK vuông góc với AB. Chứng minh rằng khi E di chuyển trên cung nhỏ AC thì EK luôn đi qua một điểm cố định.

Vì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nên tổng hai góc đối bằng 180°.

Do đó ta có: $\hat{A}+\hat{C}=180°, \hat{B}+\hat{D}=180°$

a) ⦁ Ta có: $\hat{A}+\hat{C}=180°$ và $\hat{A}=3\hat{C}$

Suy ra $3\hat{C}+\hat{C}=180°$ hay $4\hat{C}=180°$ nên $\hat{C}=45°$.

Do đó $\hat{A}=3\hat{C}=3·45°=135°$.

⦁ Ta có $\hat{B}+\hat{D}=180°$ và $\hat{B}=5\hat{D}$

Suy ra $5\hat{D}+\hat{D}=180°$ hay $6\hat{D}=180°$ nên $\hat{D}=30°$.

Do đó $\hat{B}=5\hat{D}=5·30°=150°$.

Vậy $\hat{A}=135°, \hat{B}=150°, \hat{C}=45°,\hat{D}=30°$.

b) Từ $\hat{A}-\hat{C}=12°$ và $\hat{D}-\hat{B}=76°$ ta có $\hat{A}=\hat{C}+12°$ và $\hat{D}=\hat{B}+76°$

• Ta có $\hat{A}+\hat{C}=180°$ và $\hat{A}=\hat{C}+12°$

Suy ra $\hat{C}+12°+\hat{C}=180°$ hay $2\hat{C}=168°$ nên $\hat{C}=84°$.

Do đó $\hat{A}=\hat{C}+12°=84°+12°=96°$.

• Ta có $\hat{B}+\hat{D}=180°$ và $\hat{D}=\hat{B}+76°$

Suy ra $\hat{B}+\hat{B}+76°=180°$ hay $2\hat{B}=104°$ nên $\hat{B}=52°$

Do đó $\hat{D}=\hat{B}+76°=52°+76°=128°$.

Vậy $\hat{A}=96°,\overbrace{B}=52°,\hat{C}=84°,\hat{D}=128°$.

c) Từ $\hat{A}=7\hat{B}$ và $\hat{A}+2\hat{B}=180°$ ta có $7\hat{B}+2\hat{B}=180°$

Hay $9\hat{B}=180°$ nên $\hat{B}=20°$.

Ta có:

• $\hat{A}=7\hat{B}=7·20°=140°$.

• $\hat{A}+\hat{C}=180°$ suy ra $\hat{C}=180°-\hat{A}=180°-140°=40°;$

• $\hat{B}+\hat{D}=180°$ suy ra $\hat{D}=180°-\hat{B}=180°-20°=160°$.

Vậy $\hat{A}=140°, \hat{B}=20°, \hat{C}=40°, \hat{D}=160°$.

d) Từ $\hat{D}-\hat{C}=20°$ ta có $\hat{D}=\hat{C}+20°$

Mà $\hat{D}+\hat{C}=100°$ nên $\hat{C}+20°+\hat{C}=100°$

Hay $2\hat{C}=80°$ suy ra $\hat{C}=40°$

Ta có:

• $\hat{D}=\hat{C}+20°=40°+20°=60°;$

• $\hat{A}+\hat{C}=180°$ suy ra $\hat{A}=180°-\hat{C}=180°-40°=140°$

• $\hat{B}+\hat{D}=180°$ suy ra $\hat{B}=180°-\hat{D}=180°-60°=120°$

Vậy $\hat{A}=140°, \hat{B}=120°, \hat{C}=40°, \hat{D}=60°$.

a) Gọi I là trung điểm của MF.

Xét ∆CMF vuông tại C nên điểm C nằm trên đường tròn đường kính MF.

Do ABCD là hình vuông nên ∆MAF vuông tại A, do đó điểm A nằm trên đường tròn đường kính MF.

Khi đó, bốn điểm A, M, C, F cùng nằm trên đường tròn đường kính MF, do đó tứ giác AMCF nội tiếp đường tròn đường kính MF.

Suy ra  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MA) hay $\widehat{NCA}=\widehat{MFN}$.

Tương tự, ta chứng minh được tứ giác NACE nội tiếp đường tròn đường kính NE, nên $\widehat{NEA}=\widehat{NCA}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NA).

b) Do ABCD là hình vuông nên AC là đường phân giác của $\widehat{BAD}$, do đó $\widehat{BAC}=\widehat{CAD}=\frac{1}{2}\widehat{BAD}=\frac{1}{2}·90°=45°$ hay $\widehat{EAC}=45°$

Ta có tứ giác NACE nội tiếp đường tròn nên  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EC).

Mà $\widehat{NEC}=90°$ nên tam giác CEN vuông cân tại C.

Vì thế CN = CE.

Tương tự, tam giác CMF vuông cân tại C suy ra CM = CF.

Do đó CM + CN = CF + CE = EF.