Câu hỏi:
13/09/2024 1,875
Cho tam giác ABC vuông cân tại C và nội tiếp đường tròn (O; R). E là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ AC. Gọi I là giao điểm của EB và AC. Kẻ IK vuông góc với AB. Chứng minh rằng khi E di chuyển trên cung nhỏ AC thì EK luôn đi qua một điểm cố định.
Cho tam giác ABC vuông cân tại C và nội tiếp đường tròn (O; R). E là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ AC. Gọi I là giao điểm của EB và AC. Kẻ IK vuông góc với AB. Chứng minh rằng khi E di chuyển trên cung nhỏ AC thì EK luôn đi qua một điểm cố định.
Quảng cáo
Trả lời:

Kẻ đường kính CD, khi đó ta có điểm D cố định.
Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) đường kính AB) và (do IK ⊥ AB) nên hai điểm E, K cùng thuộc đường tròn đường kính AI.
Do đó tứ giác EIKA nội tiếp đường tròn đường kính AI.
Suy ra (hai góc nội tiếp cùng chắn cung KI).
Lại có (do ∆ACB vuông cân tại C) do đó hay . (1)
Mặt khác, ∆ABC vuông cân tại C có CO là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao, đường phân giác của tam giác.
Do đó
Mà là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BD của đường tròn (O) nên . (2)
Từ (1) và (2) suy ra E, K, D thẳng hàng.
Vậy khi điểm E di chuyển trên cung nhỏ AC thì EK luôn đi qua điểm D cố định.
Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải

Vì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nên tổng hai góc đối bằng 180°.
Do đó ta có:
a) ⦁ Ta có: và
Suy ra hay nên .
Do đó .
⦁ Ta có và
Suy ra hay nên .
Do đó .
Vậy .
b) Từ và ta có và
• Ta có và
Suy ra hay nên .
Do đó .
• Ta có và
Suy ra hay nên
Do đó .
Vậy .
c) Từ và ta có
Hay nên .
Ta có:
• .
• suy ra
• suy ra .
Vậy .
d) Từ ta có
Mà nên
Hay suy ra
Ta có:
•
• suy ra
• suy ra
Vậy .
Lời giải

a) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, HK.
Khi đó MI, NI lần lượt là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB của các tam giác vuông AMB, ANB nên
Suy ra tứ giác AMBN nội tiếp đường tròn tâm I, đường kính AB.
Tương tự, tứ giác HMNK nội tiếp đường tròn tâm J, đường kính HK.
b) Do tứ giác HMNK nội tiếp đường tròn nên tổng hai góc đối bằng 180°, suy ra
Mà (hai góc kề bù)
Nên hay .
Xét ∆AMN và ∆AKH có:
là góc chung và .
Do đó ∆AMN ᔕ ∆AKH (g.g)
Suy ra (1)
Lại có tam giác AHN vuông tại N nên
hay tức là .
Do đó AH = 2AN (2)
Từ (1) và (2) suy ra nên HK = 2MN.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.