Giải SBT Toán 9 Cánh diều Bài 2. Tứ giác nội tiếp đường tròn

⦁ Tứ giác có bốn đỉnh thuộc một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn.

⦁ Trong một tứ giác nội tiếp đường tròn, tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180°.

⦁ Hình chữ nhật luôn nội tiếp đường tròn.

⦁ Mỗi hình vuông là một tứ giác nội tiếp đường tròn.

Vậy trong các phát biểu đã cho, phát biểu b) là sai.

Vì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nên tổng hai góc đối bằng 180°.

Do đó ta có: $\hat{A}+\hat{C}=180°, \hat{B}+\hat{D}=180°$

a) ⦁ Ta có: $\hat{A}+\hat{C}=180°$ và $\hat{A}=3\hat{C}$

Suy ra $3\hat{C}+\hat{C}=180°$ hay $4\hat{C}=180°$ nên $\hat{C}=45°$.

Do đó $\hat{A}=3\hat{C}=3·45°=135°$.

⦁ Ta có $\hat{B}+\hat{D}=180°$ và $\hat{B}=5\hat{D}$

Suy ra $5\hat{D}+\hat{D}=180°$ hay $6\hat{D}=180°$ nên $\hat{D}=30°$.

Do đó $\hat{B}=5\hat{D}=5·30°=150°$.

Vậy $\hat{A}=135°, \hat{B}=150°, \hat{C}=45°,\hat{D}=30°$.

b) Từ $\hat{A}-\hat{C}=12°$ và $\hat{D}-\hat{B}=76°$ ta có $\hat{A}=\hat{C}+12°$ và $\hat{D}=\hat{B}+76°$

• Ta có $\hat{A}+\hat{C}=180°$ và $\hat{A}=\hat{C}+12°$

Suy ra $\hat{C}+12°+\hat{C}=180°$ hay $2\hat{C}=168°$ nên $\hat{C}=84°$.

Do đó $\hat{A}=\hat{C}+12°=84°+12°=96°$.

• Ta có $\hat{B}+\hat{D}=180°$ và $\hat{D}=\hat{B}+76°$

Suy ra $\hat{B}+\hat{B}+76°=180°$ hay $2\hat{B}=104°$ nên $\hat{B}=52°$

Do đó $\hat{D}=\hat{B}+76°=52°+76°=128°$.

Vậy $\hat{A}=96°,\overbrace{B}=52°,\hat{C}=84°,\hat{D}=128°$.

c) Từ $\hat{A}=7\hat{B}$ và $\hat{A}+2\hat{B}=180°$ ta có $7\hat{B}+2\hat{B}=180°$

Hay $9\hat{B}=180°$ nên $\hat{B}=20°$.

Ta có:

• $\hat{A}=7\hat{B}=7·20°=140°$.

• $\hat{A}+\hat{C}=180°$ suy ra $\hat{C}=180°-\hat{A}=180°-140°=40°;$

• $\hat{B}+\hat{D}=180°$ suy ra $\hat{D}=180°-\hat{B}=180°-20°=160°$.

Vậy $\hat{A}=140°, \hat{B}=20°, \hat{C}=40°, \hat{D}=160°$.

d) Từ $\hat{D}-\hat{C}=20°$ ta có $\hat{D}=\hat{C}+20°$

Mà $\hat{D}+\hat{C}=100°$ nên $\hat{C}+20°+\hat{C}=100°$

Hay $2\hat{C}=80°$ suy ra $\hat{C}=40°$

Ta có:

• $\hat{D}=\hat{C}+20°=40°+20°=60°;$

• $\hat{A}+\hat{C}=180°$ suy ra $\hat{A}=180°-\hat{C}=180°-40°=140°$

• $\hat{B}+\hat{D}=180°$ suy ra $\hat{B}=180°-\hat{D}=180°-60°=120°$

Vậy $\hat{A}=140°, \hat{B}=120°, \hat{C}=40°, \hat{D}=60°$.

Giả sử trái lại có hai dây cung BD và AC (không đi qua tâm O) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành.

Do đó $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}$.

Mặt khác, tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên $\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=180°$ .

Suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}=\frac{180°}{2}=90°$.

Từ đó suy ra AC là đường kính của đường tròn (O) hay AC đi qua tâm O, mâu thuẫn với điều đã giả sử.

Vậy trong một đường tròn, hai dây không đi qua tâm không thể cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Ta có tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn (O) nên tổng hai góc đối nhau bằng 180°, suy ra $\widehat{ACD}+\widehat{ABD}=180°$.

Mà $\widehat{ABD}+\widehat{ABF}=180°$ (hai góc bù nhau)

Nên $\widehat{ACD}=\widehat{ABF}\left(=180°-\widehat{ABD}\right)$ (1)

Mặt khác, tứ giác ABFE nội tiếp đường tròn (O’) nên tổng hai góc đối nhau bằng 180°, suy ra $\widehat{ABF}+\widehat{AEF}=180°$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $\widehat{ACD}+\widehat{AEF}=180°$ hay $\widehat{ECD}+\widehat{CEF}=180°.$

Suy ra EF // CD.

⦁ Vì ∆ABC đều nên $\widehat{BAC}=\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=60°$.

Do tứ giác ABEC nội tiếp đường tròn nên tổng hai góc đối nhau bằng 180°, suy ra $\widehat{CEB}+\widehat{BAC}=180°$

Mà $\widehat{CEB}+\widehat{CED}=180°$ (hai góc kề bù)

Do đó $\widehat{CED}=\widehat{BAD}=60°\left(=180°-\widehat{BEC}\right)$

Xét đường tròn (O) có $\widehat{AEC}=\widehat{ABC}=60°$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC) nên $\widehat{AEC}=\widehat{CED}=60°$.

Do đó, EC là đường phân giác của góc AED.

⦁ Tương tự ta có $\widehat{AEC}=\widehat{ABC}=60°$ và $\widehat{AEB}=\widehat{ACB}=60°$.

Do đó $\widehat{AEB}=\widehat{AEC}=60°$ hay EA là đường phân giác của góc BEC.

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\widehat{HAC}=\widehat{AEH}$.

Do đó, tam giác HAE cân tại H nên AH = EH.

b) Xét ∆AHB và ∆AHC có:

AB = AC (do ∆ABC cân tại A);

HB = HC (do H là trung điểm của BC);

AH là cạnh chung

Do đó ∆AHB = ∆AHC (c.c.c)

Suy ra $\widehat{ABH}=\widehat{ACH}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{ACH}=\widehat{DCE}$ nên $\widehat{DCE}=\widehat{ABD}$.