Câu hỏi:

13/09/2024 313

Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai dây không đi qua tâm không thể cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 9 Cánh diều Bài 2. Tứ giác nội tiếp đường tròn !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai dây không đi qua tâm không thể cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. (ảnh 1)

Giả sử trái lại có hai dây cung BD và AC (không đi qua tâm O) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành.

Do đó $\hat{A B C} = \hat{A D C}$ .

Mặt khác, tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên $\hat{A B C} + \hat{A D C} = 180 °$ .

Suy ra $\hat{A B C} = \hat{A D C} = \frac{180 °}{2} = 90 °$ .

Từ đó suy ra AC là đường kính của đường tròn (O) hay AC đi qua tâm O, mâu thuẫn với điều đã giả sử.

Vậy trong một đường tròn, hai dây không đi qua tâm không thể cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Tính số đo mỗi góc còn lại của tứ giác đó trong mỗi trường hợp sau:

a) $\hat{A} = 3 \hat{C}$ và $\hat{B} = 5 \hat{D}$ ;

b) $\hat{A} - \hat{C} = 12 °$ và $\hat{D} - \hat{B} = 76 °$ ;

c) $\hat{A} = 7 \hat{B}$ và $\hat{A} + 2 \hat{B} = 180 °;$

d) $\hat{D} - \hat{C} = 20 °$ và $\hat{D} + \hat{C} = 100 °$ .

Xem đáp án

Lời giải

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Tính số đo mỗi góc còn lại của tứ giác đó trong mỗi trường (ảnh 1)

Vì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nên tổng hai góc đối bằng 180°.

Do đó ta có: $\hat{A} + \hat{C} = 180 °, \hat{B} + \hat{D} = 180 °$

a) ⦁ Ta có: $\hat{A} + \hat{C} = 180 °$ và $\hat{A} = 3 \hat{C}$

Suy ra $3 \hat{C} + \hat{C} = 180 °$ hay $4 \hat{C} = 180 °$ nên $\hat{C} = 45 °$ .

Do đó $\hat{A} = 3 \hat{C} = 3 \cdot 45 ° = 135 °$ .

⦁ Ta có $\hat{B} + \hat{D} = 180 °$ và $\hat{B} = 5 \hat{D}$

Suy ra $5 \hat{D} + \hat{D} = 180 °$ hay $6 \hat{D} = 180 °$ nên $\hat{D} = 30 °$ .

Do đó $\hat{B} = 5 \hat{D} = 5 \cdot 30 ° = 150 °$ .

Vậy $\hat{A} = 135 °, \hat{B} = 150 °, \hat{C} = 45 °, \hat{D} = 30 °$ .

b) Từ $\hat{A} - \hat{C} = 12 °$ và $\hat{D} - \hat{B} = 76 °$ ta có $\hat{A} = \hat{C} + 12 °$ và $\hat{D} = \hat{B} + 76 °$

• Ta có $\hat{A} + \hat{C} = 180 °$ và $\hat{A} = \hat{C} + 12 °$

Suy ra $\hat{C} + 12 ° + \hat{C} = 180 °$ hay $2 \hat{C} = 168 °$ nên $\hat{C} = 84 °$ .

Do đó $\hat{A} = \hat{C} + 12 ° = 84 ° + 12 ° = 96 °$ .

• Ta có $\hat{B} + \hat{D} = 180 °$ và $\hat{D} = \hat{B} + 76 °$

Suy ra $\hat{B} + \hat{B} + 76 ° = 180 °$ hay $2 \hat{B} = 104 °$ nên $\hat{B} = 52 °$

Do đó $\hat{D} = \hat{B} + 76 ° = 52 ° + 76 ° = 128 °$ .

Vậy $\hat{A} = 96 °, \overset{⏞}{B} = 52 °, \hat{C} = 84 °, \hat{D} = 128 °$ .

c) Từ $\hat{A} = 7 \hat{B}$ và $\hat{A} + 2 \hat{B} = 180 °$ ta có $7 \hat{B} + 2 \hat{B} = 180 °$

Hay $9 \hat{B} = 180 °$ nên $\hat{B} = 20 °$ .

Ta có:

• $\hat{A} = 7 \hat{B} = 7 \cdot 20 ° = 140 °$ .

• $\hat{A} + \hat{C} = 180 °$ suy ra $\hat{C} = 180 ° - \hat{A} = 180 ° - 140 ° = 40 °;$

• $\hat{B} + \hat{D} = 180 °$ suy ra $\hat{D} = 180 ° - \hat{B} = 180 ° - 20 ° = 160 °$ .

Vậy $\hat{A} = 140 °, \hat{B} = 20 °, \hat{C} = 40 °, \hat{D} = 160 °$ .

d) Từ $\hat{D} - \hat{C} = 20 °$ ta có $\hat{D} = \hat{C} + 20 °$

Mà $\hat{D} + \hat{C} = 100 °$ nên $\hat{C} + 20 ° + \hat{C} = 100 °$

Hay $2 \hat{C} = 80 °$ suy ra $\hat{C} = 40 °$

Ta có:

• $\hat{D} = \hat{C} + 20 ° = 40 ° + 20 ° = 60 °;$

• $\hat{A} + \hat{C} = 180 °$ suy ra $\hat{A} = 180 ° - \hat{C} = 180 ° - 40 ° = 140 °$

• $\hat{B} + \hat{D} = 180 °$ suy ra $\hat{B} = 180 ° - \hat{D} = 180 ° - 60 ° = 120 °$

Vậy $\hat{A} = 140 °, \hat{B} = 120 °, \hat{C} = 40 °, \hat{D} = 60 °$ .

Câu 2

Cho $\hat{x A y} = 60 °$ và điểm B nằm trong góc xAy. Kẻ đường thẳng BN vuông góc với Ay cắt Ax tại H; kẻ đường thẳng BM vuông góc với Ax cắt Ay tại K (Hình 14).

Chứng minh:

a) Các tứ giác AMBN, HMNK là các tứ giác nội tiếp đường tròn;

b) HK = 2MN.

Xem đáp án

Lời giải

Cho ^xAy và điểm B nằm trong góc xAy. Kẻ đường thẳng BN vuông góc với Ay cắt Ax tại H; (ảnh 2)

a) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, HK.

Khi đó MI, NI lần lượt là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB của các tam giác vuông AMB, ANB nên $I M = I N = I A = I B = \frac{A B}{2} .$

Suy ra tứ giác AMBN nội tiếp đường tròn tâm I, đường kính AB.

Tương tự, tứ giác HMNK nội tiếp đường tròn tâm J, đường kính HK.

b) Do tứ giác HMNK nội tiếp đường tròn nên tổng hai góc đối bằng 180°, suy ra $\hat{H M N} + \hat{N K H} = 180 °$

Mà $\hat{A M N} + \hat{H M N} = 180 °$ (hai góc kề bù)

Nên $\hat{A M N} = \hat{N K H} (= 180 ° - \hat{H M N})$ hay $\hat{A M N} = \hat{A K H}$ .

Xét ∆AMN và ∆AKH có:

$\hat{K A H}$ là góc chung và $\hat{A M N} = \hat{A K H}$ .

Do đó ∆AMN ᔕ ∆AKH (g.g)

Suy ra $\frac{M N}{A H} = \frac{A N}{A H}$ (1)

Lại có tam giác AHN vuông tại N nên

$\cos \hat{H A N} = \frac{A N}{A H}$ hay $\cos 60 ° = \frac{A N}{A H},$ tức là $\frac{A N}{A H} = \frac{1}{2}$ .

Do đó AH = 2AN (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{M N}{K H} = \frac{A N}{A H}$ nên HK = 2MN.

Câu 3