Câu hỏi:

13/09/2024 1,697

Chứng minh rằng mỗi hình thang cân là một tứ giác nội tiếp đường tròn.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 9 Cánh diều Bài 2. Tứ giác nội tiếp đường tròn !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chứng minh rằng mỗi hình thang cân là một tứ giác nội tiếp đường tròn. (ảnh 1)

Gọi IK là trục đối xứng của hình thang cân ABCD.

Gọi đường trung trực d của AD. Gọi O là giao điểm của d và IK.

Khi đó, OA = OB = OC = OD suy ra các điểm A, B, C, D đều thuộc đường tròn tâm O, bán kính OA hay hình thang cân ABCD nội tiếp đường tròn.

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Tính số đo mỗi góc còn lại của tứ giác đó trong mỗi trường hợp sau:

a) $\hat{A} = 3 \hat{C}$ và $\hat{B} = 5 \hat{D}$ ;

b) $\hat{A} - \hat{C} = 12 °$ và $\hat{D} - \hat{B} = 76 °$ ;

c) $\hat{A} = 7 \hat{B}$ và $\hat{A} + 2 \hat{B} = 180 °;$

d) $\hat{D} - \hat{C} = 20 °$ và $\hat{D} + \hat{C} = 100 °$ .

Xem đáp án

Lời giải

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Tính số đo mỗi góc còn lại của tứ giác đó trong mỗi trường (ảnh 1)

Vì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nên tổng hai góc đối bằng 180°.

Do đó ta có: $\hat{A} + \hat{C} = 180 °, \hat{B} + \hat{D} = 180 °$

a) ⦁ Ta có: $\hat{A} + \hat{C} = 180 °$ và $\hat{A} = 3 \hat{C}$

Suy ra $3 \hat{C} + \hat{C} = 180 °$ hay $4 \hat{C} = 180 °$ nên $\hat{C} = 45 °$ .

Do đó $\hat{A} = 3 \hat{C} = 3 \cdot 45 ° = 135 °$ .

⦁ Ta có $\hat{B} + \hat{D} = 180 °$ và $\hat{B} = 5 \hat{D}$

Suy ra $5 \hat{D} + \hat{D} = 180 °$ hay $6 \hat{D} = 180 °$ nên $\hat{D} = 30 °$ .

Do đó $\hat{B} = 5 \hat{D} = 5 \cdot 30 ° = 150 °$ .

Vậy $\hat{A} = 135 °, \hat{B} = 150 °, \hat{C} = 45 °, \hat{D} = 30 °$ .

b) Từ $\hat{A} - \hat{C} = 12 °$ và $\hat{D} - \hat{B} = 76 °$ ta có $\hat{A} = \hat{C} + 12 °$ và $\hat{D} = \hat{B} + 76 °$

• Ta có $\hat{A} + \hat{C} = 180 °$ và $\hat{A} = \hat{C} + 12 °$

Suy ra $\hat{C} + 12 ° + \hat{C} = 180 °$ hay $2 \hat{C} = 168 °$ nên $\hat{C} = 84 °$ .

Do đó $\hat{A} = \hat{C} + 12 ° = 84 ° + 12 ° = 96 °$ .

• Ta có $\hat{B} + \hat{D} = 180 °$ và $\hat{D} = \hat{B} + 76 °$

Suy ra $\hat{B} + \hat{B} + 76 ° = 180 °$ hay $2 \hat{B} = 104 °$ nên $\hat{B} = 52 °$

Do đó $\hat{D} = \hat{B} + 76 ° = 52 ° + 76 ° = 128 °$ .

Vậy $\hat{A} = 96 °, \overset{⏞}{B} = 52 °, \hat{C} = 84 °, \hat{D} = 128 °$ .

c) Từ $\hat{A} = 7 \hat{B}$ và $\hat{A} + 2 \hat{B} = 180 °$ ta có $7 \hat{B} + 2 \hat{B} = 180 °$

Hay $9 \hat{B} = 180 °$ nên $\hat{B} = 20 °$ .

Ta có:

• $\hat{A} = 7 \hat{B} = 7 \cdot 20 ° = 140 °$ .

• $\hat{A} + \hat{C} = 180 °$ suy ra $\hat{C} = 180 ° - \hat{A} = 180 ° - 140 ° = 40 °;$

• $\hat{B} + \hat{D} = 180 °$ suy ra $\hat{D} = 180 ° - \hat{B} = 180 ° - 20 ° = 160 °$ .

Vậy $\hat{A} = 140 °, \hat{B} = 20 °, \hat{C} = 40 °, \hat{D} = 160 °$ .

d) Từ $\hat{D} - \hat{C} = 20 °$ ta có $\hat{D} = \hat{C} + 20 °$

Mà $\hat{D} + \hat{C} = 100 °$ nên $\hat{C} + 20 ° + \hat{C} = 100 °$

Hay $2 \hat{C} = 80 °$ suy ra $\hat{C} = 40 °$

Ta có:

• $\hat{D} = \hat{C} + 20 ° = 40 ° + 20 ° = 60 °;$

• $\hat{A} + \hat{C} = 180 °$ suy ra $\hat{A} = 180 ° - \hat{C} = 180 ° - 40 ° = 140 °$

• $\hat{B} + \hat{D} = 180 °$ suy ra $\hat{B} = 180 ° - \hat{D} = 180 ° - 60 ° = 120 °$

Vậy $\hat{A} = 140 °, \hat{B} = 120 °, \hat{C} = 40 °, \hat{D} = 60 °$ .

Câu 2

Cho $\hat{x A y} = 60 °$ và điểm B nằm trong góc xAy. Kẻ đường thẳng BN vuông góc với Ay cắt Ax tại H; kẻ đường thẳng BM vuông góc với Ax cắt Ay tại K (Hình 14).

Chứng minh:

a) Các tứ giác AMBN, HMNK là các tứ giác nội tiếp đường tròn;

b) HK = 2MN.

Xem đáp án

Lời giải

Cho ^xAy và điểm B nằm trong góc xAy. Kẻ đường thẳng BN vuông góc với Ay cắt Ax tại H; (ảnh 2)

a) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, HK.

Khi đó MI, NI lần lượt là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB của các tam giác vuông AMB, ANB nên $I M = I N = I A = I B = \frac{A B}{2} .$

Suy ra tứ giác AMBN nội tiếp đường tròn tâm I, đường kính AB.

Tương tự, tứ giác HMNK nội tiếp đường tròn tâm J, đường kính HK.

b) Do tứ giác HMNK nội tiếp đường tròn nên tổng hai góc đối bằng 180°, suy ra $\hat{H M N} + \hat{N K H} = 180 °$

Mà $\hat{A M N} + \hat{H M N} = 180 °$ (hai góc kề bù)

Nên $\hat{A M N} = \hat{N K H} (= 180 ° - \hat{H M N})$ hay $\hat{A M N} = \hat{A K H}$ .

Xét ∆AMN và ∆AKH có:

$\hat{K A H}$ là góc chung và $\hat{A M N} = \hat{A K H}$ .

Do đó ∆AMN ᔕ ∆AKH (g.g)

Suy ra $\frac{M N}{A H} = \frac{A N}{A H}$ (1)

Lại có tam giác AHN vuông tại N nên

$\cos \hat{H A N} = \frac{A N}{A H}$ hay $\cos 60 ° = \frac{A N}{A H},$ tức là $\frac{A N}{A H} = \frac{1}{2}$ .

Do đó AH = 2AN (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{M N}{K H} = \frac{A N}{A H}$ nên HK = 2MN.

Câu 3