Câu hỏi:
19/09/2024 444
Người ta muốn thiết kế một quả địa cầu trong không gian Oxyz bằng phần mềm 3D. Biết phương trình mặt cầu là:
(S): (x – 24)2 + (y – 24)2 + (z – 24)2 = 100 (đơn vị cm) và phương trình đường thẳng trục xoay là d: \[\frac{{x - 24}}{1} = \frac{{y - 24}}{1} = \frac{{z - 24}}{{3,25}}\].
a) Tìm tọa độ giao điểm của d và (S).
b) Tính số đo góc giữa d và trục Oz. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười của độ.
Người ta muốn thiết kế một quả địa cầu trong không gian Oxyz bằng phần mềm 3D. Biết phương trình mặt cầu là:
(S): (x – 24)2 + (y – 24)2 + (z – 24)2 = 100 (đơn vị cm) và phương trình đường thẳng trục xoay là d: \[\frac{{x - 24}}{1} = \frac{{y - 24}}{1} = \frac{{z - 24}}{{3,25}}\].
a) Tìm tọa độ giao điểm của d và (S).
b) Tính số đo góc giữa d và trục Oz. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười của độ.
Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Ta có phương trình tham số của đường thẳng d là: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 24 + t\\y = 24 + t\\z = 24 + 3,25t.\end{array} \right.\]
Xét điểm M(24 + t; 24 + t; 24 + 3,25t) thuộc đường thẳng d.
Thay tọa độ của M vào phương trình mặt cầu (S), ta được:
(24 + t – 24)2 + (24 + t – 24)2 + (24 + 3,25t – 24)2 = 100 ⇔ t = \[ \pm \frac{{40\sqrt {201} }}{{201}}\].
Vậy d cắt (S) tại hai điểm \[M\left( {24 + \frac{{40\sqrt {201} }}{{201}};24 + \frac{{40\sqrt {201} }}{{201}};24 + \frac{{130\sqrt {201} }}{{201}}} \right)\] hoặc
\[M'\left( {24 - \frac{{40\sqrt {201} }}{{201}};24 - \frac{{40\sqrt {201} }}{{201}};24 - \frac{{130\sqrt {201} }}{{201}}} \right)\].
b) Vectơ chỉ phương của d và trục Oz lần lượt là \[\overrightarrow a = \left( {1;1;3,25} \right),\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\].
Ta có: cos(d; Oz) = \[\frac{{\left| {\overrightarrow a .\overrightarrow k } \right|}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow k } \right|}} = \frac{{\left| {3,25} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + 3,{{25}^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} \approx 0,917\].
Suy ra (d, Oz) ≈ 23,5°.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Trong không gian Oxyz (đơn vị trên các trục tọa độ là mét), một ngọn hải đăng có bóng đèn đặt tại điểm I(20; 40; 60).
a) Cho biết bán kính phủ sáng của đèn trên hải đăng là 3 km, viết phương trình mặt cầu biểu diễn ranh giới của vùng phủ sáng của hải đăng trong không gian.
b) Một người đi biển đang ở vị trí M(420; 340; 0). Người đó có thể nhìn thấy được ánh sáng của hải đăng hay không? Giải thích.
Trong không gian Oxyz (đơn vị trên các trục tọa độ là mét), một ngọn hải đăng có bóng đèn đặt tại điểm I(20; 40; 60).
a) Cho biết bán kính phủ sáng của đèn trên hải đăng là 3 km, viết phương trình mặt cầu biểu diễn ranh giới của vùng phủ sáng của hải đăng trong không gian.
b) Một người đi biển đang ở vị trí M(420; 340; 0). Người đó có thể nhìn thấy được ánh sáng của hải đăng hay không? Giải thích.
Xem đáp án »
19/09/2024
2,879
Câu 2:
Một khu vực đã được thiết lập một hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên các trục là mét). Một flycam đang phát sóng wifi bao phủ một vùng không gian bên trong mặt cầu (S): (x – 20)2 + (y – 30)2 + (z – 10)2 = 400. Một người đang sử dụng máy tính tại điểm M nằm trên điểm giao của mặt cầu (S) và mặt đất (P): z = 0.
a) Xác định tọa độ âm I và bán kính của mặt cầu (S). Tính khoảng cách IJ của đoạn vuông góc từ I đến (P).
b) Tính độ dài đoạn thẳng JM. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của mét.
Một khu vực đã được thiết lập một hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên các trục là mét). Một flycam đang phát sóng wifi bao phủ một vùng không gian bên trong mặt cầu (S): (x – 20)2 + (y – 30)2 + (z – 10)2 = 400. Một người đang sử dụng máy tính tại điểm M nằm trên điểm giao của mặt cầu (S) và mặt đất (P): z = 0.
a) Xác định tọa độ âm I và bán kính của mặt cầu (S). Tính khoảng cách IJ của đoạn vuông góc từ I đến (P).
b) Tính độ dài đoạn thẳng JM. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của mét.
Xem đáp án »
19/09/2024
1,845
Câu 3:
Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính mặt của cầu đó.
a) 4x2 + y2 + z2 – 2x – 14y – 7z + 4 = 0;
b) x2 + y2 + z2 + 6x – 4y – 4z – 19 = 0;
c) x2 + y2 + z2 – 4x – 4y – 6z + 40 = 0.
Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính mặt của cầu đó.
a) 4x2 + y2 + z2 – 2x – 14y – 7z + 4 = 0;
b) x2 + y2 + z2 + 6x – 4y – 4z – 19 = 0;
c) x2 + y2 + z2 – 4x – 4y – 6z + 40 = 0.
Xem đáp án »
19/09/2024
108
Câu 4:
Cho mặt cầu (S) có tâm I(2; −1; 4) và bán kính R = 5. Các điểm A(3; 1; 5), B(−1; 11; 14), C(6; 2; 4) nằm trong, nằm trên hay nằm ngoài mặt cầu (S)?
Cho mặt cầu (S) có tâm I(2; −1; 4) và bán kính R = 5. Các điểm A(3; 1; 5), B(−1; 11; 14), C(6; 2; 4) nằm trong, nằm trên hay nằm ngoài mặt cầu (S)?
Xem đáp án »
19/09/2024
73
Câu 5:
Viết phương trình mặt cầu (S) trong mỗi trường hợp sau:
a) (S) có tâm I(−5; 7; 6) và có bán kính R = 9.
b) (S) có tâm I(0; −3; 0) và đi qua điểm M(4; 0; −2).
c) (S) có đường kính EF với E(1; 5; 9), F(11; 3; 1).
Viết phương trình mặt cầu (S) trong mỗi trường hợp sau:
a) (S) có tâm I(−5; 7; 6) và có bán kính R = 9.
b) (S) có tâm I(0; −3; 0) và đi qua điểm M(4; 0; −2).
c) (S) có đường kính EF với E(1; 5; 9), F(11; 3; 1).
Xem đáp án »
19/09/2024
64
Câu 6:
Xác định tâm và bán kính của mặt phẳng có phương trình sau:
a) (S): (x – 7)2 + ( y – 3)2 + (z + 4)2 = 49;
b) (S'): x2 + (y + 1)2 + (z – 2)2 = 11;
c) (S''): x2 + y2 + z2 = 25.
Xác định tâm và bán kính của mặt phẳng có phương trình sau:
a) (S): (x – 7)2 + ( y – 3)2 + (z + 4)2 = 49;
b) (S'): x2 + (y + 1)2 + (z – 2)2 = 11;
c) (S''): x2 + y2 + z2 = 25.
Xem đáp án »
19/09/2024
48
Bình luận
🔥 Đề thi HOT:
-
53 câu Bài tập về Tính đơn điệu của hàm số có lời giải (P1)
-
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án ( Phần 1)
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
200 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao (P1)
-
56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án
-
87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
20 câu Trắc nghiệm Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án (Nhận biết)
về câu hỏi!