Cho \[\left( {O;{\rm{ }}4} \right)\] có dây \[AC\] bằng cạnh hình vuông nội tiếp và dây \[BC\] bằng cạnh tam giác đều nội tiếp đường tròn đó (điểm \[C\] và \[A\] nằm cùng phía với \[BO\]). Số đo góc \[ACB\] là

Đáp án đúng là: B

Đường tròn \[\left( {I;{\rm{ }}r} \right)\] tiếp xúc với các cạnh \[AB,{\rm{ }}AC,{\rm{ }}BC\] theo thứ tự \[M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}P\].

Ta có: \({S_{AIB}} = \frac{1}{2}IM \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot r \cdot AB & \left( 1 \right)\)

\({S_{AIC}} = \frac{1}{2}IN \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot r \cdot AC & \left( 2 \right)\)

\({S_{BIC}} = \frac{1}{2}r.BC & & & \left( 3 \right)\)

Cộng vế theo vế ở các biểu thức \(\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right),\,\,\left( 3 \right)\), ta được:

\(\frac{{{S_{AIB}} + {S_{AIC}} + {S_{BIC}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{1}{2}r\left( {AB + AC + BC} \right)\).

Mà \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.6.8 = 24\) (cm²), \(BC = \sqrt {{6^2} + {8^2}} = 10\) (cm)

Nên ta có: \(24 = \frac{1}{2}r \cdot \left( {6 + 8 + 10} \right)\) hay \(\frac{1}{2}r \cdot 12 = 24\).

Do đó \(r = 2\,\,{\rm{cm}}\).

Đáp án đúng là: D

Ta có: \[\Delta ABC\] cân tại \[A\] suy ra \[AB = AC\] do đó \[OE = OF\].

Xét hai tam giác vuông \[AOE\] và \[AOF\] có:

Cạnh \[OA\] chung ; \[OE = OF\] (chứng minh trên)

Suy ra \[\Delta AOE = \Delta AOF\] (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\) (hai góc tương ứng); \(AE = AF\) (hai cạnh tương ứng).

Vậy \[AO\] là phân giác của \(\widehat {BAC}\).