Cho hai biểu thức: và với

Chứng minh rằng

Với , ta có:

Với để nhận giá trị nguyên thì là nhận giá trị nguyên hay .

Do đó, là ước của

Mà nên hay (thỏa mãn).

Vậy thì nhận giá trị nguyên.

Gọi (giờ) là thời gian để vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể;

(giờ) là thời gian để vòi thứ hai chảy một mình đầy bể  ().

Đổi: 1 giờ 20 phút = giờ, 12 phút = giờ, 10 phút = giờ.

Theo đề, hai vòi cùng chảy thì sau giờ sẽ đầy bể.

Do đó, trong một giờ, hai vòi cùng chảy được số phần bể là: (bể).

Trong 1 giờ, vòi thứ nhất chảy được (bể), vòi thứ hai chảy được (bể).

Ta có phương trình:

Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và vòi thứ hai chảy trong 12 phút thì đầy bể nên ta có phương trình

Từ và  ta có hệ phương trình .

Từ phương trình thứ nhất, ta có: , thế vào phương trình thứ hai, ta được:

(TMĐK).

Thay vào hệ phương trình thứ nhất, được suy ra (TMĐK).

Vậy vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể trong 2 giờ, vòi thứ hai chảy một mình đầy bể trong 4 giờ.