Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\): \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 6\) và hai mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + 2z + 5 = 0\), \(\left( Q \right):2x - y + z - 5 = 0\). Hai đường thẳng \(d\) và \(\Delta \) đi qua tâm của \(\left( S \right)\), lần lượt vuông góc và cắt \(\left( P \right),\left( Q \right)\) theo thứ tự đó tại \(A\) và \(B\). Tính độ dài đoạn thẳng \(AB\) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Một xe ô tô chở khách du lịch có sức chứa tối đa là \[16\] hành khách. Trong một khu du lịch, một đoàn khách gồm \[22\] người đang đi bộ và muốn thuê xe về khách sạn. Lái xe đưa ra thỏa thuận với đoàn khách du lịch như sau: Nếu một chuyến xe chở \(x\) (người) thì giá tiền cho mỗi người là \(\frac{{{{\left( {40 - x} \right)}^2}}}{2}\) (nghìn đồng). Với thoả thuận như trên thì lái xe có thể thu được nhiều nhất bao nhiêu triệu đồng từ một chuyến chở khách (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Khi kiểm tra sức khoẻ tổng quát của bệnh nhân ở một bệnh viện, người ta được kết quả như sau:

– Có \(40\% \) bệnh nhân bị đau dạ dày.

– Có \(30\% \) bệnh nhân thường xuyên bị stress.

– Trong số các bệnh nhân bị stress có \(80\% \) bệnh nhân bị đau dạ dày.

Chọn ngẫu nhiên 1 bệnh nhân.

a) Xác suất chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress là \(0,3\).

b) Xác suất chọn được bệnh nhân bị đau dạ dày, biết bệnh nhân đó thường xuyên bị stress, là \(0,8.\)

c) Xác suất chọn được bệnh nhân vừa thường xuyên bị stress vừa bị đau dạ dày là \(0,24.\)

d) Xác suất chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress, biết bệnh nhân đó bị đau dạ dày, là \(0,6.\)

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {3;1;9} \right)\), đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 1 - t\\z = 2 + 2t\end{array} \right.\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + y - z + 3 = 0\).

a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(\overrightarrow n = \left( {1;1; - 1} \right)\).

b) Điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(d\).

c) Một điểm \(A\) bất kì thuộc đường thẳng \(d\) đều có tọa độ dạng \(A\left( {t; - 1 - t;2 + 2t} \right)\).

d) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\), cắt đường thẳng \(d\) và song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có phương trình \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z - 4}}{5}\).

Anh Hưng gửi tiết kiệm khoản tiền 700 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 7%/năm theo hình thức lãi kép kì hạn 12 tháng. Tính thời gian tối thiểu gửi tiết kiệm để anh Hưng thu được ít nhất 1 tỉ đồng (cả vốn lẫn lãi). Cho biết công thức lãi kép là \(T = A \cdot {\left( {1 + r} \right)^n}\), trong đó \(A\) là tiền vốn, \(T\) là tiền vốn và lãi nhận được sau \(n\) năm, \(r\) là lãi suất/năm.