Một cái hộp hình lập phương, bên trong nó đựng một mô hình đồ chơi có dạng hình chóp tứ giác đều mà đỉnh của hình chóp đó trùng với tâm của một mặt chiếc hộp, giả sử hình vuông đáy của hình chóp trùng với một mặt của chiếc hộp (mặt này cùng với mặt chứa đỉnh hình chóp là hai mặt đối nhau). Biết cạnh của chiếc hộp bằng \(30\;{\rm{cm}}\), hãy tính thể tích phần không gian bên trong chiếc hộp không bị chiếm bởi mô hình đồ chơi dạng hình chóp (mô hình đồ hơi được làm bởi chất liệu nhựa đặc bên trong, kết quả có đơn vị là dm³).

Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {2;2;0} \right)\), \(B\left( {2;0; - 2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - z - 1 = 0\). Xét điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho \(MA = MB\) và số đo góc \(\widehat {AMB}\) lớn nhất. Tính giá trị \(a + b + c\) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Ta coi năm lấy làm mốc để tính dân số của một vùng ( hoặc một quốc gia) là năm \(0\). Khi đó, dân số của quốc gia đó ở năm thứ \(t\) là hàm theo biến \(t\) được cho bởi công thức: \(S = A \cdot {e^{rt}}\), trong đó, \(A\) dân số của một vùng ( hoặc quốc gia) đó ở năm \(0\)và \(r\) là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Biết rằng dân số Việt Nam năm \(2021\) ước tính là \(98\,564\,407\)người và tỉ lệ tăng dân số hàng năm là \(r = 0,93\% \). Giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm là như nhau tính từ năm \(2021\). Hỏi từ năm nào trở đi, dân số nước ta vượt \(120\) triệu người?

Cần rào ba cạnh để cùng với bờ tường có sẵn tạo thành mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 200 m² (tham khảo hình vẽ). Kí hiệu \(x\;\left( {\rm{m}} \right)\), \[y\;\left( {\rm{m}} \right)\] lần lượt là độ dài các cạnh của mảnh vườn vuông góc và song song với bờ tường; \(L\;\left( {\rm{m}} \right)\) là tổng độ dài lưới thép cần để rào mảnh vườn. Biết rằng mỗi mét lưới thép dùng để rào mảnh vườn có đơn giá 250 nghìn đồng.

a) \(y\) được tính theo \(x\) bằng công thức \(y = \frac{{200}}{x}\).

b) \(L\) được tính theo \(x\) theo công thức \(L = 2x + \frac{{100}}{x}\).

c) \(L\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(x = 10\;\left( {\rm{m}} \right)\).

d) Số tiền tối thiểu để mua lưới thép rào mảnh vườn là 2,5 triệu đồng.

Bạn Ninh có 4 tấm thẻ được đánh số lần lượt là 3; 6; 8; 9. Ninh lấy ra 2 tấm thẻ trong 4 tấm thẻ đó và xếp chúng thành một hàng ngang một cách ngẫu nhiên để tạo thành một số có hai chữ số. Gọi \(A\) là biến cố “Số tạo thành chia hết cho 2” và \(B\) là biến cố “Số tạo thành chia hết cho 3”.

a) Xác suất của biến cố \(A\) là \(0,5\).

b) Xác suất của biến cố \(AB\) là \(0,25\).

c) Xác suất của biến cố \(A\) với điều kiện \(B\) là \(\frac{1}{3}\).

d) Xác suất của biến cố \(A\) với điều kiện \(\overline B \) là \(\frac{2}{3}\).

Một ô tô đang chạy đều với vận tốc \(x\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số \(v = - 5t + 20\left( {{\rm{m/s}}} \right)\), trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.

a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng \(0\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).

b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là \(5\,{\rm{s}}\).

c) \(\int {\left( { - 5t + 20} \right){\rm{dt}} = } \frac{{ - 5{t^2}}}{2} + 20t + C\).

d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là \(400\,{\rm{m}}\).