Câu hỏi:

31/01/2025 42

Tính các góc của tam giác ABC biết\[\left( {{\rm{1 + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{sinA}}}}} \right)\left( {{\rm{1 + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{sinB}}}}} \right)\left( {{\rm{1 + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{sinC}}}}} \right){\rm{ = }}{\left( {{\rm{1 + }}\frac{{\rm{1}}}{{\sqrt[{\rm{3}}]{{{\rm{sinA}}{\rm{.sinB}}{\rm{.sinC}}}}}}} \right)^{\rm{3}}}\]

A. \[\widehat A{\rm{ = }}\widehat B{\rm{ = }}\widehat C{\rm{ = 6}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}}\]

B. \[\widehat A{\rm{ = 9}}{{\rm{0}}^0}{\rm{; }}\widehat B{\rm{ = 6}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}};\,\,\widehat C{\rm{ = 3}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}}\]

C. \[\widehat A{\rm{ = 9}}{{\rm{0}}^0}{\rm{; }}\widehat B{\rm{ = 3}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}};\,\,\widehat C{\rm{ = 6}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}}\]

D. \[\widehat A{\rm{ = 9}}{{\rm{0}}^0}{\rm{; }}\widehat B{\rm{ = 4}}{{\rm{5}}^{\rm{0}}};\,\,\widehat C{\rm{ = 45}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}}\]

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 20 câu trắc nghiệm Toán 11 Chân trời sáng tạo Các công thức lượng giác có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

\[\left( {{\rm{1 + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{sinA}}}}} \right)\left( {{\rm{1 + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{sinB}}}}} \right)\left( {{\rm{1 + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{sinC}}}}} \right){\rm{ = }}{\left( {{\rm{1 + }}\frac{{\rm{1}}}{{\sqrt[{\rm{3}}]{{{\rm{sinA}}{\rm{.sinB}}{\rm{.sinC}}}}}}} \right)^{\rm{3}}}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{\left( {sinA + 1} \right)\left( {sinB + 1} \right)\left( {sinC + 1} \right)}}{{sinA.sinB.sinC}} = {\left( {\frac{{\sqrt[3]{{sinA.sinB.sinC}} + 1}}{{\sqrt[3]{{sinA.sinB.sinC}}}}} \right)^3}\]

\[ \Leftrightarrow \left( {sinA + 1} \right)\left( {sinB + 1} \right)\left( {sinC + 1} \right) = {\left( {\sqrt[3]{{sinA.sinB.sinC}} + 1} \right)^3}\]

\[ \Leftrightarrow sinA.sinB.sinC + sinA.sinB + sinB.sinC + \sin A.sinC + \sin A + \sin B + \sin C + 1\]

\[ = sinA.sinB.sinC + 3\sqrt[3]{{sinA.sinB.sinC}} + 3\sqrt[3]{{{{\left( {sinA.sinB.sinC} \right)}^2}}} + 1\]

\[ \Leftrightarrow sinA.sinB + sinB.sinC + \sin A.sinC + \sin A + \sin B + \sin C\]

\[ = 3\sqrt[3]{{sinA.sinB.sinC}} + 3\sqrt[3]{{{{\left( {sinA.sinB.sinC} \right)}^2}}}\]

Ta có A, B, C là các góc trong tam giác \[ \Rightarrow {\rm{0 < sinA, sinB, sinC}} \le 1\]

Áp dụng bất đẳng sức cô si ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{sinA.sinB + sinB.sinC + \sin A.sinC \ge 3\sqrt[3]{{si{n^2}A.si{n^2}B.si{n^2}C}}}\\{sinA + sinB + sinC \ge 3\sqrt[3]{{sinA.sinB.sinC}}}\end{array}} \right.\)

\[ \Rightarrow sinA.sinB + sinB.sinC + sinAsinC + sinA + sinB + sinC\]

\[ \ge 3\sqrt[3]{{si{n^2}A.si{n^2}B.si{n^2}C}} + 3\sqrt[3]{{sinA.sinB.sinC}}\]

Dấu = xảy ra \[ \Leftrightarrow {\rm{sinA = sinB = sinC}}\]

\[\widehat A{\rm{ = }}\widehat B{\rm{ = }}\widehat C{\rm{ = 6}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}}\]

Đáp án cần chọn là: A

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn sin(A) + sin(B) = cos(A) + cos(B) . Tính số đo góc C của tam giác ABC

A. 30⁰

B. 90⁰

C. 60⁰

D. 40⁰

Lời giải

\[{\rm{sin}}\left( {\rm{A}} \right){\rm{ + sin}}\left( {\rm{B}} \right){\rm{ = cos}}\left( {\rm{A}} \right){\rm{ + cos}}\left( {\rm{B}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow {\rm{sin}}\left( {\frac{{{\rm{A + B}}}}{{\rm{2}}}} \right){\rm{cos}}\left( {\frac{{{\rm{A}} - {\rm{B}}}}{{\rm{2}}}} \right){\rm{ = cos}}\left( {\frac{{{\rm{A + B}}}}{{\rm{2}}}} \right){\rm{cos}}\left( {\frac{{{\rm{A}} - {\rm{B}}}}{{\rm{2}}}} \right)\] (1)

Nếu \[{\rm{cos}}\left( {\frac{{{\rm{A}} - {\rm{B}}}}{{\rm{2}}}} \right){\rm{ = 0}} \Rightarrow \frac{{{\rm{A}} - {\rm{B}}}}{{\rm{2}}}{\rm{ = 9}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}} \Rightarrow {\rm{A}} - {\rm{B = 18}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}}{\rm{ = A + B + C}} \Leftrightarrow {\rm{2B + C = 0}}\]

Nếu\[{\rm{cos}}\left( {\frac{{{\rm{A}} - {\rm{B}}}}{{\rm{2}}}} \right) \ne 0\] khi đó

\[\left( {\rm{1}} \right) \Leftrightarrow {\rm{sin}}\left( {\frac{{{\rm{A + B}}}}{{\rm{2}}}} \right){\rm{ = cos}}\left( {\frac{{{\rm{A + B}}}}{{\rm{2}}}} \right) \Leftrightarrow {\rm{sin}}\left( {\frac{{{\rm{A + B}}}}{{\rm{2}}}} \right){\rm{ = sin}}\left( {\frac{{\rm{C}}}{{\rm{2}}}} \right)\]do \[\frac{{{\rm{A + B}}}}{{\rm{2}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{C}}}{{\rm{2}}}{\rm{ = }}{90^0}\]

\[ \Rightarrow \frac{{{\rm{A + B}}}}{{\rm{2}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{C}}}{{\rm{2}}} \Leftrightarrow {\rm{A + B = C}} \Leftrightarrow {\rm{18}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}} - {\rm{C = C}} \Rightarrow {\rm{C = 9}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}}\]

Đáp án cần chọn là: B

Câu 2

Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng:

A. \[{\rm{cos}}\left( {{\rm{a + }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{3}}}} \right){\rm{ = cos}}\left( {\rm{a}} \right){\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}\]

B. \[{\rm{cos}}\left( {{\rm{a + }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{3}}}} \right){\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{sin}}\left( {\rm{a}} \right) - \frac{{\sqrt {\rm{3}} }}{{\rm{2}}}{\rm{cos}}\left( {\rm{a}} \right)\]

C. \[{\rm{cos}}\left( {{\rm{a + }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{3}}}} \right){\rm{ = }}\frac{{\sqrt {\rm{3}} }}{{\rm{2}}}{\rm{sin}}\left( {\rm{a}} \right) - \frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{cos}}\left( {\rm{a}} \right)\]

D. \[{\rm{cos}}\left( {{\rm{a + }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{3}}}} \right){\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{cos}}\left( {\rm{a}} \right) - \frac{{\sqrt {\rm{3}} }}{{\rm{2}}}{\rm{sin}}\left( {\rm{a}} \right)\]

Lời giải

Ta có:\[{\rm{cos}}\left( {{\rm{a + }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{3}}}} \right){\rm{ = cos}}\left( {\rm{a}} \right){\rm{cos}}\left( {\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{3}}}} \right) - {\rm{sin}}\left( {\rm{a}} \right){\rm{sin}}\left( {\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{3}}}} \right){\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{cos}}\left( {\rm{a}} \right) - \frac{{\sqrt {\rm{3}} }}{{\rm{2}}}{\rm{sin}}\left( {\rm{a}} \right)\]

Đáp án cần chọn là: D

Câu 3

Tính tổng \[{\rm{S = si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{{\rm{5}}^{\rm{0}}}{\rm{ + si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{1}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}}{\rm{ + si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{1}}{{\rm{5}}^{\rm{0}}}{\rm{ + }}...{\rm{ + si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{8}}{{\rm{5}}^{\rm{0}}}\]

A. S = 17

B. \[{\rm{S = }}\frac{{{\rm{17}}}}{{\rm{2}}}\]

C. S = 1

D. S = 0

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai:

A. \[{\rm{sin}}\left( {{\rm{2a}}} \right){\rm{ = 2sin}}\left( {\rm{a}} \right){\rm{cos}}\left( {\rm{a}} \right)\]

B. \[{\rm{sin}}\left( {{\rm{2a}}} \right){\rm{ = sin}}\left( {\rm{a}} \right){\rm{cos}}\left( {\rm{a}} \right)\]

C. \[{\rm{cos}}\left( {{\rm{2a}}} \right){\rm{ = co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\left( {\rm{a}} \right) - {\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}\left( {\rm{a}} \right)\]

D. \[{\rm{cos}}\left( {{\rm{2a}}} \right){\rm{ = 1}} - {\rm{2si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}\left( {\rm{a}} \right)\]

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Chọn đẳng thức sai trong các đẳng thức sau:

A. \[{\rm{sin}}\left( {{\rm{a + b}}} \right){\rm{ = sin}}\left( {\rm{a}} \right){\rm{cos}}\left( {\rm{b}} \right){\rm{ + cos}}\left( {\rm{a}} \right){\rm{sin}}\left( {\rm{b}} \right)\]

B. \[{\rm{sin}}\left( {{\rm{a + b}}} \right){\rm{ = sin}}\left( {\rm{a}} \right){\rm{cos}}\left( {\rm{a}} \right){\rm{ + cos}}\left( {\rm{b}} \right){\rm{sin}}\left( {\rm{b}} \right)\]

C. \[{\rm{sin}}\left( {{\rm{a}} - {\rm{b}}} \right){\rm{ = sin}}\left( {\rm{a}} \right){\rm{cos}}\left( {\rm{a}} \right) - {\rm{cos}}\left( {\rm{b}} \right){\rm{sin}}\left( {\rm{b}} \right)\]

D. \[{\rm{sin}}\left( {{\rm{a}} - {\rm{b}}} \right){\rm{ = sin}}\left( {\rm{b}} \right){\rm{cos}}\left( {\rm{a}} \right) - {\rm{cos}}\left( {\rm{a}} \right){\rm{sin}}\left( {\rm{b}} \right)\]

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho tam giác nhọn ABC. Đẳng thức sai trong các đẳng thức sau là:

A. \[{\rm{sin}}\left( {{\rm{B + C}}} \right){\rm{ = }} - {\rm{sin}}\left( {\rm{A}} \right)\]

B. \[{\rm{cos}}\left( {{\rm{B + C}}} \right){\rm{ = }} - {\rm{cos}}\left( {\rm{A}} \right)\]

C. \[{\rm{tan}}\left( {{\rm{B + C}}} \right){\rm{ = }} - {\rm{tan}}\left( {\rm{A}} \right)\]

D. \[{\rm{cot}}\left( {{\rm{B + C}}} \right){\rm{ = }} - {\rm{cot}}\left( {\rm{A}} \right)\]

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng ?

A. \[{\rm{cos}}\left( {{\rm{2a}}} \right){\rm{ = si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}\left( {\rm{a}} \right) - {\rm{co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\left( {\rm{a}} \right)\]

B. \[{\rm{cos}}\left( {{\rm{2a}}} \right){\rm{ = 1}} - {\rm{2co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\left( {\rm{a}} \right)\]

C. \[{\rm{co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\left( {\rm{a}} \right){\rm{ + si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}\left( {\rm{a}} \right){\rm{ = 1}}\]

D. \[{\rm{co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\left( {\rm{a}} \right) - {\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}\left( {\rm{a}} \right){\rm{ = 1}}\]

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập