Tính các góc của tam giác ABC biết\[\left( {{\rm{1 + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{sinA}}}}} \right)\left( {{\rm{1 + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{sinB}}}}} \right)\left( {{\rm{1 + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{sinC}}}}} \right){\rm{ = }}{\left( {{\rm{1 + }}\frac{{\rm{1}}}{{\sqrt[{\rm{3}}]{{{\rm{sinA}}{\rm{.sinB}}{\rm{.sinC}}}}}}} \right)^{\rm{3}}}\]
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
\[\left( {{\rm{1 + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{sinA}}}}} \right)\left( {{\rm{1 + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{sinB}}}}} \right)\left( {{\rm{1 + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{sinC}}}}} \right){\rm{ = }}{\left( {{\rm{1 + }}\frac{{\rm{1}}}{{\sqrt[{\rm{3}}]{{{\rm{sinA}}{\rm{.sinB}}{\rm{.sinC}}}}}}} \right)^{\rm{3}}}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{\left( {sinA + 1} \right)\left( {sinB + 1} \right)\left( {sinC + 1} \right)}}{{sinA.sinB.sinC}} = {\left( {\frac{{\sqrt[3]{{sinA.sinB.sinC}} + 1}}{{\sqrt[3]{{sinA.sinB.sinC}}}}} \right)^3}\]
\[ \Leftrightarrow \left( {sinA + 1} \right)\left( {sinB + 1} \right)\left( {sinC + 1} \right) = {\left( {\sqrt[3]{{sinA.sinB.sinC}} + 1} \right)^3}\]
\[ \Leftrightarrow sinA.sinB.sinC + sinA.sinB + sinB.sinC + \sin A.sinC + \sin A + \sin B + \sin C + 1\]
\[ = sinA.sinB.sinC + 3\sqrt[3]{{sinA.sinB.sinC}} + 3\sqrt[3]{{{{\left( {sinA.sinB.sinC} \right)}^2}}} + 1\]
\[ \Leftrightarrow sinA.sinB + sinB.sinC + \sin A.sinC + \sin A + \sin B + \sin C\]
\[ = 3\sqrt[3]{{sinA.sinB.sinC}} + 3\sqrt[3]{{{{\left( {sinA.sinB.sinC} \right)}^2}}}\]
Ta có A, B, C là các góc trong tam giác \[ \Rightarrow {\rm{0 < sinA, sinB, sinC}} \le 1\]
Áp dụng bất đẳng sức cô si ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{sinA.sinB + sinB.sinC + \sin A.sinC \ge 3\sqrt[3]{{si{n^2}A.si{n^2}B.si{n^2}C}}}\\{sinA + sinB + sinC \ge 3\sqrt[3]{{sinA.sinB.sinC}}}\end{array}} \right.\)
\[ \Rightarrow sinA.sinB + sinB.sinC + sinAsinC + sinA + sinB + sinC\]
\[ \ge 3\sqrt[3]{{si{n^2}A.si{n^2}B.si{n^2}C}} + 3\sqrt[3]{{sinA.sinB.sinC}}\]
Dấu = xảy ra \[ \Leftrightarrow {\rm{sinA = sinB = sinC}}\]
\[\widehat A{\rm{ = }}\widehat B{\rm{ = }}\widehat C{\rm{ = 6}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}}\]
Đáp án cần chọn là: A
Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Trọng tâm Sử, Địa, GD KTPL 11 cho cả 3 bộ Kết nối, Chân trời, Cánh diều VietJack - Sách 2025 ( 38.000₫ )
- Sách - Sổ tay kiến thức trọng tâm Vật lí 11 VietJack - Sách 2025 theo chương trình mới cho 2k8 ( 45.000₫ )
- Sách lớp 11 - Trọng tâm Toán, Lý, Hóa, Sử, Địa lớp 11 3 bộ sách KNTT, CTST, CD VietJack ( 52.000₫ )
- Sách lớp 10 - Combo Trọng tâm Toán, Văn, Anh và Lí, Hóa, Sinh cho cả 3 bộ KNTT, CD, CTST VietJack ( 75.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
\[{\rm{sin}}\left( {\rm{A}} \right){\rm{ + sin}}\left( {\rm{B}} \right){\rm{ = cos}}\left( {\rm{A}} \right){\rm{ + cos}}\left( {\rm{B}} \right)\]
\[ \Leftrightarrow {\rm{sin}}\left( {\frac{{{\rm{A + B}}}}{{\rm{2}}}} \right){\rm{cos}}\left( {\frac{{{\rm{A}} - {\rm{B}}}}{{\rm{2}}}} \right){\rm{ = cos}}\left( {\frac{{{\rm{A + B}}}}{{\rm{2}}}} \right){\rm{cos}}\left( {\frac{{{\rm{A}} - {\rm{B}}}}{{\rm{2}}}} \right)\] (1)
Nếu \[{\rm{cos}}\left( {\frac{{{\rm{A}} - {\rm{B}}}}{{\rm{2}}}} \right){\rm{ = 0}} \Rightarrow \frac{{{\rm{A}} - {\rm{B}}}}{{\rm{2}}}{\rm{ = 9}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}} \Rightarrow {\rm{A}} - {\rm{B = 18}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}}{\rm{ = A + B + C}} \Leftrightarrow {\rm{2B + C = 0}}\]
Nếu\[{\rm{cos}}\left( {\frac{{{\rm{A}} - {\rm{B}}}}{{\rm{2}}}} \right) \ne 0\] khi đó
\[\left( {\rm{1}} \right) \Leftrightarrow {\rm{sin}}\left( {\frac{{{\rm{A + B}}}}{{\rm{2}}}} \right){\rm{ = cos}}\left( {\frac{{{\rm{A + B}}}}{{\rm{2}}}} \right) \Leftrightarrow {\rm{sin}}\left( {\frac{{{\rm{A + B}}}}{{\rm{2}}}} \right){\rm{ = sin}}\left( {\frac{{\rm{C}}}{{\rm{2}}}} \right)\]do \[\frac{{{\rm{A + B}}}}{{\rm{2}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{C}}}{{\rm{2}}}{\rm{ = }}{90^0}\]
\[ \Rightarrow \frac{{{\rm{A + B}}}}{{\rm{2}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{C}}}{{\rm{2}}} \Leftrightarrow {\rm{A + B = C}} \Leftrightarrow {\rm{18}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}} - {\rm{C = C}} \Rightarrow {\rm{C = 9}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}}\]
Đáp án cần chọn là: B
Lời giải
Ta có\[\sin \left( \alpha \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\], \[{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}\left( {\rm{\alpha }} \right){\rm{ + co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\left( {\rm{\alpha }} \right){\rm{ = 1}} \Rightarrow {\rm{co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\left( {\rm{\alpha }} \right){\rm{ = 1}} - \frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}\]
Vì \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\)nên \[\cos \left( \alpha \right) > 0 \Rightarrow \cos \left( \alpha \right) = \sqrt {\frac{2}{3}} \]</>
\[ \Rightarrow {\rm{sin}}\left( {{\rm{\alpha + }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{3}}}} \right){\rm{ = sin}}\left( {\rm{\alpha }} \right){\rm{cos}}\left( {\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{3}}}} \right){\rm{ + cos}}\left( {\rm{\alpha }} \right){\rm{sin}}\left( {\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{3}}}} \right){\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\sqrt {\rm{3}} }}{\rm{.}}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{ + }}\sqrt {\frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}} {\rm{.}}\frac{{\sqrt {\rm{3}} }}{{\rm{2}}}{\rm{ = }}\frac{{\sqrt {\rm{3}} }}{{\rm{6}}}{\rm{ + }}\frac{{\sqrt {\rm{2}} }}{{\rm{2}}}\]
Đáp án cần chọn là: D
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo