Cho hai biến cố độc lập \(A,B\) với \(P\left( A \right) = 0,8;P\left( B \right) = 0,25\). Tính \(P\left( {A|B} \right)\).

____

Gọi biến cố A: “Lấy được 1 viên bi màu trắng từ hộp thứ II”;

Biến cố \({A_1}\): “Lấy được 2 viên bi màu trắng ở hộp I”;

Biến cố \({A_2}\): “Lấy được 1 viên bi màu trắng và 1 viên bi màu đen ở hộp I”;

Biến cố \({A_3}\): “Lấy được 2 viên bi màu đen ở hộp I”.

Biến cố B: “Viên bi màu trắng đó thuộc hộp I”.

Cần tính \(P\left( {B|A} \right)\).

Theo đề ta có \(P\left( {{A_1}} \right) = \frac{{C_5^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{2}{9}\); \(P\left( {{A_2}} \right) = \frac{{C_5^1.C_5^1}}{{C_{10}^2}} = \frac{5}{9}\); \(P\left( {{A_3}} \right) = \frac{{C_5^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{2}{9}\).

Ta có \(P\left( {A|{A_1}} \right) = \frac{8}{{12}} = \frac{2}{3};P\left( {A|{A_2}} \right) = \frac{7}{{12}};P\left( {A|{A_3}} \right) = \frac{6}{{12}} = \frac{1}{2}\).

Ta có \(P\left( A \right) = P\left( {{A_1}} \right).P\left( {A|{A_1}} \right) + P\left( {{A_2}} \right).P\left( {A|{A_2}} \right) + P\left( {{A_3}} \right).P\left( {A|{A_3}} \right)\)

\( = \frac{2}{9}.\frac{2}{3} + \frac{5}{9}.\frac{7}{{12}} + \frac{2}{9}.\frac{1}{2} = \frac{7}{{12}}\).

Suy ra \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {{A_2}} \right).P\left( {A|{A_2}} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{\frac{5}{9}.\frac{7}{{12}}}}{{\frac{7}{{12}}}} = \frac{5}{9}\).

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ

Ta có \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\) đi qua \(\left( {0;2} \right);\left( {2,5;1,5} \right);\left( { - 2,5;1,5} \right)\) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}c = 2\\{2,5^2}a + 2,5b + c = 1,5\\{\left( { - 2,5} \right)^2}a - 2,5b + c = 1,5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{2}{{25}}\\b = 0\\c = 2\end{array} \right.\). Suy ra \(\left( P \right):y = - \frac{2}{{25}}{x^2} + 2\).

Suy ra diện tích cổng sắt là

\(S = 2\int\limits_0^{2,5} {\left| { - \frac{2}{{25}}{x^2} + 2} \right|dx} = 2\int\limits_0^{2,5} {\left( { - \frac{2}{{25}}{x^2} + 2} \right)dx} = \left. {2\left( { - \frac{2}{{75}}{x^3} + 2x} \right)} \right|_0^{2,5} = \frac{{55}}{6}\) (m²).

Ông Bình cần phải trả số tiền là \(\frac{{55}}{6}.1200000 = 11000000\) (đồng).